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Exercícios Resolvidos de Introdução aos polinômios

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 13, Questão 1

Resolva as equações abaixo

  1. 2 x = 32
  2. 2 x = 1 / 4
  3. 2 x = 4 5
  4. 2 x = 1
  5. 2 x = - 2
  6. ( 5 3 ) x = 1 / 125 4
  7. 10 x = 25
  8. 3 - 2 x = 7
  9. 2 1 - x = 3
  10. 5 x = 4 x + 1
  11. 7 x / 2 = 5 1 - x
  12. 50 1 + e - x = 4

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é encontrar as soluções das equações. Vamos começar pela letra a ) .

2 x = 32

Podemos escrever o lado direito como potência de 2 . Então

2 x = 2 5

mas se isso é verdade então

⇒ x = 5

Vamos para a letra b )

2 x = 1 / 4

Podemos escrever o lado direito como potência de 2 . Então

2 x = 2 - 2

mas se isso é verdade então

⇒ x = - 2

Vamos para a letra c ) .

2 x = 4 5

Podemos escrever o lado direito como potência de 2 . Então

2 x = 4 1 / 5

= ( 2 2 ) 1 / 5

= 2 2 / 5

Então

2 x = 2 2 / 5

mas se isso é verdade então

⇒ x = 2 / 5

Vamos para a letra d )

2 x = 1

Essa é tranquilinha né? Pois todo número, diferente de zero, elevado a zero é 1 . Logo

x = 0

Vamos para a letra e )

2 x = - 2

Bem como 2 x > 0 , então a equação acima não terá solução.

Passo 2

Agora, vamos para a segunda leva de equações

Vamos fazer a letra f )

( 5 3 ) x = 1 / 125 4

escrevendo o lado direito como potência de 5

( 5 3 ) x = 1 / 5 3 4

agora, vamos escrever as raízes como potências fracionárias

( 5 1 / 3 ) x = 1 / 5 3 / 4

5 x / 3 = 5 - 3 4

mas se isso é verdade então

x 3   =   - 3 4

Logo

x = - 9 4

Vamos fazer a letra g )

10 x = 25

Eita ferro!!! As bases não são as mesmas. Como fazemos isso? Ahaaa, usamos a função inversa da exponencial, o l o g . E vamos lembrar que

l o g a a = 1

Então

10 x = 25

aplicando o l o g 10

l o g 10 ( 10 x ) = l o g 10 ( 25 )

x l o g 10 ( 10 ) = l o g 10 ( 25 )

Logo

x = l o g 10 ( 25 )

Vamos fazer a letra h )

3 - 2 x = 7

Vamos aplicar l o g 10

  l o g 10 ( 3 - 2 x ) =   l o g 10 ( 7 )

- 2 x   l o g 10 ( 3 ) =   l o g 10 ( 7 )

Logo

x   =   - l o g 10 ( 7 ) 2 l o g 10 ( 3 )

Vamos fazer a letra i )

2 1 - x = 3

Vamos aplicar o l o g 10

l o g 10 ( 2 1 - x ) = l o g 10 3

( 1 - x ) l o g 10 ( 2 ) = l o g 10 3

Então

x = 1 - l o g 10 3 / l o g 10 ( 2 )

Vamos fazer a letra j )

5 x = 4 x + 1

Agora, temos x dos dois lados. Bem, vamos aplicar l o g 10

l o g 10 5 x = l o g 10 4 x + 1

então

x l o g 10 5 = ( x + 1 ) l o g 10 4

x l o g 10 5 = x l o g 10 4 + l o g 10 4

Passando o x para a esquerda

x ( l o g 10 5 - l o g 10 4 ) = l o g 10 4

Então

x = l o g 10 4 ( l o g 10 5 - l o g 10 4 )

Vamos fazer a letra k )

7 x / 2 = 5 1 - x

aplicando l o g 10

  l o g 10 7 x / 2 =   l o g 10 5 1 - x

  x 2 l o g 10 7 =   ( 1 - x ) l o g 10 5

multiplicando por 2

  x l o g 10 7 =   ( 2 - 2 x ) l o g 10 5

isolando x

  x l o g 10 7 + 2 x l o g 10 5 =   2 l o g 10 5

colocando em evidência

  x ( l o g 10 7 + 2 l o g 10 5 ) =   2 l o g 10 5

Logo

  x =   2 l o g 10 5 / ( l o g 10 7 + 2 l o g 10 5 )

Para finalizarmos. Vamos fazer a letra l

50 1 + e - x = 4

50 = 4   +   4 e - x

Isolando e - x

46 4 = e - x

Aplicando l o g e

l o g e 46 4 = l o g e e - x

temos que

l o g e 46 4 = - x

⇒ - l o g e 46 4 = x

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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