Passo 1
Devemos começar achando os pontos críticos. Primeiro vamos calcular as derivadas da função
Então os pontos críticos são aquele que
Passo 2
A primeira e a segunda equação nos dizem que
Assim, como o expoente é par, temos que
Os pontos críticos são
Passo 3
Agora devemos calcular o determinante de
Vamos primeiro achar as derivadas segundas
Passo 4
Agora, como temos mais de um ponto crítico, vamos calcular o determinante num ponto genérico e depois a gente substitui o resultado nos pontos críticos para classifica-los.
Passo 5
Agora vamos substituir nos pontos críticos.
Como e são menores que zero, temos que e são pontos de sela.
Como e são maiores que zero, temos que analisar o sinal de .
Logo, é ponto de mínimo local e é ponto de máximo local.
Passo 6
Agora temos que analisar se e são também pontos de mínimo e máximo globais, respectivamente.
Vamos tentar provar que é o menor valor que a função pode assumir e é o maior valor que a função pode assumir.
Essa função é um polinômio e não possui nenhuma restrição para seus valores (por exemplo, ela não tem termos elevados a expoentes pares, que limitaria valores positivos).
Isso significa então, que se tivermos constante e podendo assumir qualquer valor, inclusive , nossa função tenderá a .
Assim, ela não possui nem mínimo nem máximo global.
Resposta
