Seja
Onde são números reais. Se
Então:
- é um ponto de mínimo local
- não é um ponto crítico
- é um ponto de máximo local
- é um ponto de sela
- Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Agualando a zero para encontrar os pontos críticos:
Como a questão está falando do ponto , vamos usá-lo.
Olhando para esse sistema, já conseguimos ver que é um ponto crítico.
Show, então já eliminamos a letra .
Passo 2
Vamos agora então classificar esse ponto.
Para usar o teste da derivada segunda, precisamos calcular as derivadas segundas. Vamos lá então:
Passo 3
Aplicando o teste da derivada segunda:
Substituindo nossos dados:
Esse termo que está entre parênteses, a questão diz pra gente que é menor que zero. Assim, como temos um sinal de menos na frente, nosso .
Sabemos então que ou é ponto de máximo ou é ponto de mínimo.
Ai precisamos analisar o sinal de .
Sabemos que
Como e , para a expressão ser menor do que zero, isso só acontece se o .
Então, sendo , temo que
Assim, nosso ponto é um ponto de máximo.