Considere a função
Considere as seguintes afirmações:
- O gráfico de é união de uma porção de um elipsoide e de um hiperboloide de uma folha.
- A função é contínua em
- O máximo absoluto de é 4
Assinale a resposta certa:
- Nenhuma das opções
- Somente as afirmações I e III são verdadeiras
- Somente a afirmação II é verdadeira
- Somente as afirmações I e II são verdadeiras
- Todas as afirmações são verdadeiras.
Passo 1
Vamos analisar cada afirmativa:
- O gráfico de é união de uma porção de um elipsoide e de um hiperboloide de uma folha.
Vamos lembrar as equações do elipsoide e do hiperboloide de uma folha?
Elipsoide:
Hhiperboloide de uma folha:
Agora vamos comparar com a nossa função:
Agora vamos separar isso pra ficar mais fácil de enxergar.
Da primeira equação, temos
Dividindo os dois lados por 16:
Que tem exatamente a mesma cara da equação do elipsoide.
Agora, da segunda equação, temos
Dividindo tudo por 8:
Arrumando de outra forma:
Ficamos exatamente com a cara do hiperboloide de uma folha.
Assim, a afirmativa I é verdadeira.
Passo 2
A afirmativa II diz que no ponto onde a função muda sua lei de formação, ela é contínua.
Se uma função é contínua num ponto, isso significa que seu gráfico não apresenta “bico” nesse ponto.
E, se você observar, a curva
Que é onde queremos saber se a função é contínua, é exatamente a curva de interseção entre o elipsoide e o hiperboloide de uma folha que compõem nossa função.
Olha só:
Se isolarmos o na equação do hiperboloide de uma folha
E substituirmos na equação do eipsoide
Encontramos a curva
Isso significa que em todos os pontos sobre a curva a função é contínua, pois não apresenta “bicos”.
Passo 3
Para a ultima afirmação, pra não termos que ficar fazendo aquele monte de coisa pra achar o máximo da função, vamos fazer um teste.
Nossa função é
E se , por exemplo, vamos fazer um teste, se usarmos
Teremos:
Ou seja, a função pode assumir valores maiores que 4, logo 4 não é o máximo absoluto da função.
Assim, a ultima afirmação é falsa.