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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Otoniel Nogueira - Lista 08, Questão 1j

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de f .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de f em relação a x .

(j) f x , y = 2 x 2 + y 2 e 1 - x 2 - y 2 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema foi dada uma função f x , y e a partir dela temos que obter algumas informações...

Primeiro temos que obter as derivadas parciais de primeira ordem e os pontos críticos de f igualando as derivadas de primeira ordem a 0 .

Depois temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f e montar a matriz Hessiana.

E por último queremos classificar os pontos críticos que encontramos no início a partir do sinal da segunda derivada de f em x e pelo sinal da matriz Hessiana...

Parece dificil? 🤔

Passo 2

A função f é dada por

f x , y = 2 x 2 + y 2 e 1 - x 2 - y 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f .

∇ f = f x , f y = ∂ 2 x 2 + y 2 e 1 - x 2 - y 2 ∂ x , ∂ 2 x 2 + y 2 e 1 - x 2 - y 2 ∂ y

∇ f = 4 x - 2 x 3 - 2 x y 2 e 1 - x 2 - y 2 , 2 y - 4 x 2 y - 2 y 3 e 1 - x 2 - y 2

Igualando ∇ f a um vetor nulo vamos obter os pontos críticos de f ...

∇ f = 4 x - 2 x 3 - 2 x y 2 e 1 - x 2 - y 2 , 2 y - 4 x 2 y - 2 y 3 e 1 - x 2 - y 2 = 0,0

4 x - 2 x 3 - 2 x y 2 e 1 - x 2 - y 2 = 0 → x = 0 ,   x = ± 2 - y 2

2 y - 4 x 2 y - 2 y 3 e 1 - x 2 - y 2 = 0 → y = 0 , y = ± 1 - 2 x 2

Portanto temos cinco pontos críticos P 1 = 1 , 0 , P 2 = - 1 , 0 , P 3 = 0 , 1 , P 4 = 0 , - 1 e P 5 = 0,0 .

Bacana, não é? 👀

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e montamos a matriz Hessiana.

f x x = ∂ 4 x - 2 x 3 - 2 x y 2 e 1 - x 2 - y 2 ∂ x = 4 x 4 + 4 x 2 y 2 - 14 x 2 - 2 y 2 + 4 e 1 - x 2 - y 2

f x y = ∂ 4 x - 2 x 3 - 2 x y 2 e 1 - x 2 - y 2 ∂ y = 4 x 3 y - 12 x y + 4 x y 3 e 1 - x 2 - y 2

f y x = ∂ 2 y - 4 x 2 y - 2 y 3 e 1 - x 2 - y 2 ∂ x = 8 x 3 y - 12 x y + 4 x y 3 e 1 - x 2 - y 2

f y y = ∂ 2 y - 4 x 2 y - 2 y 3 e 1 - x 2 - y 2 ∂ y = 2 - 4 x 2 - 10 y 2 + 8 x 2 y 2 + 4 y 4 e 1 - x 2 - y 2

A matriz Hessiana é obtida a partir das derivadas de segunda ordem de f .

H = f x x f x y f y x f y y

H = 4 x 4 + 4 x 2 y 2 - 14 x 2 - 2 y 2 + 4 e 1 - x 2 - y 2 8 x 3 y - 12 x y + 4 x y 3 e 1 - x 2 - y 2 4 x 3 y - 12 x y + 4 x y 3 e 1 - x 2 - y 2 2 - 4 x 2 - 10 y 2 + 8 x 2 y 2 + 4 y 4 e 1 - x 2 - y 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 4

Por último, queremos classificar o ponto crítico que encontramos no início do problema...

Se D e t H > 0 e f x x > 0 , o ponto crítico é mínimo.

Se D e t H > 0 e f x x < 0 , o ponto crítico é máximo.

já se D e t H < 0 o ponto crítico é sela.

Para o ponto P 1 , temos

H P 1 = 4 1 4 + 4 1 2 0 2 - 14 1 2 - 2 0 2 + 4 e 1 - 1 2 - 0 2 8 1 3 0 - 12 1 0 + 4 1 0 3 e 1 - 1 2 - 0 2 4 1 3 0 - 12 1 0 + 4 1 0 3 e 1 - 1 2 - 0 2 2 - 4 1 2 - 10 0 2 + 8 1 2 0 2 + 4 0 4 e 1 - 1 2 - 0 2

H P 1 = 4 + 0 - 14 - 0 + 4 1 0 - 0 + 0 1 0 - 0 + 0 1 2 - 4 - 0 + 0 + 0 1

H P 1 = - 6 0 0 - 2

D e t H P 1 = 1 2

Dessa forma, como D e t H > 0 e f x x < 0 , podemos afirmar que P 1 é um ponto de máximo.

Para P 2

H P 2 = 4 - 1 4 + 4 - 1 2 0 2 - 14 - 1 2 - 2 0 2 + 4 e 1 - - 1 2 - 0 2 8 - 1 3 0 - 12 - 1 0 + 4 - 1 0 3 e 1 - - 1 2 - 0 2 4 - 1 3 0 - 12 - 1 0 + 4 - 1 0 3 e 1 - - 1 2 - 0 2 2 - 4 - 1 2 - 10 0 2 + 8 - 1 2 0 2 + 4 0 4 e 1 - - 1 2 - 0 2

H P 2 = - 6 0 0 - 2

D e t H P 2 = 1 2

Dessa forma, como D e t H > 0 e f x x < 0 podemos afirmar que P 2 é um ponto de máximo.

Para P 3

H P 3 = 4 0 4 + 4 0 2 1 2 - 14 0 2 - 2 1 2 + 4 e 1 - 0 2 - 1 2 8 0 3 0 - 12 - 1 0 + 4 - 1 0 3 e 1 - 0 2 - 1 2 4 0 3 1 - 12 0 1 + 4 0 1 3 e 1 - 0 2 - 1 2 2 - 4 0 2 - 10 1 2 + 8 0 2 1 2 + 4 1 4 e 1 - 0 2 - 1 2

H P 3 = 0 + 0 - 0 - 2 + 4 1 0 - 0 + 0 1 0 - 0 + 0 1 2 - 0 - 10 + 0 + 4 1

H P 3 = 2 0 0 - 4

D e t H P 3 = - 8

Dessa forma, como D e t H < 0 podemos afirmar que P 3 é um ponto sela.

Para P 4

H P 4 = 4 0 4 + 4 0 2 - 1 2 - 14 0 2 - 2 - 1 2 + 4 e 1 - 0 2 - - 1 2 8 0 3 0 - 12 - 1 0 + 4 - 1 0 3 e 1 - 0 2 - - 1 2 4 0 3 - 1 - 12 0 - 1 + 4 0 - 1 3 e 1 - 0 2 - - 1 2 2 - 4 0 2 - 10 - 1 2 + 8 0 2 - 1 2 + 4 - 1 4 e 1 - 0 2 - - 1 2

H P 4 = 0 + 0 - 0 - 2 + 4 1 0 - 0 + 0 1 0 - 0 + 0 1 2 - 0 - 10 + 0 + 4 1

H P 4 = 2 0 0 - 4

D e t H P 4 = - 8

Dessa forma, como D e t H < 0 podemos afirmar que P 4 é um ponto sela.

Estamos quase no fim!

Passo 5

E por fim para P 5

H P 5 = 4 0 4 + 4 0 2 0 2 - 14 0 2 - 2 0 2 + 4 e 1 - 0 2 - 0 2 8 0 3 0 - 12 0 0 + 4 0 0 3 e 1 - 0 2 - 0 2 4 0 3 0 - 12 0 0 + 4 0 0 3 e 1 - 0 2 - 0 2 2 - 4 0 2 - 10 0 2 + 8 0 2 0 2 + 4 0 4 e 1 - 0 2 - 0 2

H P 5 = 0 0 0 0

D e t H P 5 = 0

Como D e t H P 5 = 0 não podemos afirmar nada com relação classificação de P 5 ...

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

P 1 = 1,0 , P 2 = - 1,0 , P 3 = 0,1 , P 4 = 0 , - 1 e P 5 = 0,0

H = 4 x 4 + 4 x 2 y 2 - 14 x 2 - 2 y 2 + 4 e 1 - x 2 - y 2 8 x 3 y - 12 x y + 4 x y 3 e 1 - x 2 - y 2 4 x 3 y - 12 x y + 4 x y 3 e 1 - x 2 - y 2 2 - 4 x 2 - 10 y 2 + 8 x 2 y 2 + 4 y 4 e 1 - x 2 - y 2

P 1 é um ponto de máximo

P 2 é um ponto de máximo

P 3 é um ponto sela

P 4 é um ponto sela

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