Calculo 2 – UNICAMP – P1
A janela de uma casa tem a forma de um retângulo com um triângulo isósceles no topo. Se o perímetro da janela é 12m e esta deve coletar a maior quantidade de energia solar possível, mostre que o ângulo da base do triângulo é radianos.
Passo 1
Temos aqui um problema de maximização! Problemas deste tipo costumam ser bastante trabalhosos, visto que nós precisamos determinar qual é a função que queremos maximizar.
Em especial, esta questão é bem trabalhosa, devido ao grande número de relações que precisamos utilizar. Mas, para a nossa alegria, já sabemos que, ao maximizar esta função, o ângulo da base do triângulo é radianos. Então já começamos o jogo na frente!
Como a função que queremos maximizar é a área da janela (o que nos dará uma maior quantidade de energia solar coletada), e consequentemente estamos trabalhando com um problema de geometria plana, é muito importante que a gente faça algum esboço para identificar das relações para calcularmos a área.
Portanto, se nós esboçarmos a janela, teremos:
Percebam que o esboço é bem simples, mas já é suficiente para que nós visualizemos que:
Só que o comprimento do triângulo e o comprimento da sua base são correlacionados através da seguinte relação trigonométrica:
E portanto,
E assim chegamos a nossa função que queremos maximizar!
Passo 2
Antes de utilizarmos a metodologia de maximização, vamos aplicação trabalhar com a restrição do nosso problema.
Esta restrição nos diz que o perímetro da janela é igual a 12. Sendo assim, temos a seguinte equação:
Só que . Realizando a mudança, temos:
E com isto, a nossa função será:
E agora temos a nossa função que devemos maximizar!
Passo 3
Agora, vamos discutir o domínio da função. Este ponto é importante para maximizarmos ela, visto que deveremos encontrar os pontos críticos dentro da região do domínio e estuda-los.
Então, domínio é o conjunto de valores que uma variável possa existir em relação a uma determinada função. Como estamos trabalhando com dimensões, com comprimentos, temos que lembrar que todas as medidas devem ser positivas (primeira sacada aqui)!
Bom, e em relação a nossa função, , quais seriam as restrições das nossas variáveis?
Começando pela mais fácil, temos o comprimento , do lado do nosso retângulo. Por ser uma medida física, ele deve ser maior do que zero! E qual será o seu valor máximo? Aí a gente diz que é em relação ao perímetro da janela. Ele deve ser menor que o perímetro (nunca igual, pois aí significa que as outras medidas da janela são nulas!). Portanto,
Agora temos o ângulo . Ele é semelhante ao caso do comprimento , só que aqui devemos focar exclusivamente no triângulo isósceles. Para que ele exista, as somas dos ângulos devem ser iguais a 180° (e todos diferente de zero). Portanto, como temos dois ângulos iguais, temos:
E assim determinamos o domínio da nossa função!
Passo 4
Agora vamos começar o processo de maximização. Para isto, vamos começar por obter os pontos críticos da nossa função . Mas o que são os pontos críticos? Como conseguimos determina-los?
Estes pontos são aqueles que fazem com que as derivadas parciais da nossa função sejam iguais a zero. Isto é:
Em outras palavras, podemos dizer que o gradiente de é o vetor nulo. Logo, . Portanto, precisamos calculas as derivadas parciais da nossa função primeiramente. Logo,
Lembrando que ao derivarmos parcialmente em relação a uma variável, consideramos as demais como constantes.
Portanto, temos o seguinte sistema:
Agora temos que resolver o sistema acima. Vamos começar pela segunda equação que é mais fácil (está igualada a zero). As possíveis soluções são:
Se fizermos , estamos fora do domínio da função. Então, não temos essa possibilidade. Já não existe! Não existe nenhum valor de tal que seja igual a zero. Por fim, só nos resta uma única possibilidade...
Opaaa!!! Não seria esse o valor que a questão nos pediu para provar?? Acho que estamos quase lá heim! Vamos descobrir o valor de na primeira equação agora, para sabermos qual o nosso ponto. Portanto,
E o nosso ponto é .
Passo 5
Por fim, para finalizarmos a questão, vamos checar se este nosso ponto crítico é ponto de máximo. Pois, se ele for, será o ponto de máximo global (único ponto crítico de uma região que não contém a fronteira).
Para isto, vamos precisar calcular o hessiano de . Relembrando, o hessiano é dado pelo determinante da seguinte matriz:
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem, temos:
As relações acima ficaram bem grandes. Para facilitar nossas vidas, vamos substituir apenas o valor de nas derivadas parciais. Somente depois iremos substituir o valor de . Para isto, temos:
Bom, como , não precisamos calcular o valor de , pois, mesmo que o Teorema de Clairaut não seja válido aqui, na hora de realizarmos a multiplicação entre essas derivadas no hessiano, teremos o valor 0. Logo, calculando apenas . Temos:
E assim, nosso hessiano será:
Como e , pois , então, temos que .
Continuando, como e , então, temos um ponto de máximo em em ! E esse será o nosso ponto de máximo global!
Portanto, provamos que o ângulo da base do triângulo será , e assim finalizamos a questão!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)