Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

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Enunciado

A janela de uma casa tem a forma de um retângulo com um triângulo isósceles no topo. Se o perímetro da janela é 12m e esta deve coletar a maior quantidade de energia solar possível, mostre que o ângulo da base do triângulo é π / 6 radianos.

Passo 1

Temos aqui um problema de maximização! Problemas deste tipo costumam ser bastante trabalhosos, visto que nós precisamos determinar qual é a função que queremos maximizar.

Em especial, esta questão é bem trabalhosa, devido ao grande número de relações que precisamos utilizar. Mas, para a nossa alegria, já sabemos que, ao maximizar esta função, o ângulo da base do triângulo é π / 6 radianos. Então já começamos o jogo na frente!

Como a função que queremos maximizar é a área da janela (o que nos dará uma maior quantidade de energia solar coletada), e consequentemente estamos trabalhando com um problema de geometria plana, é muito importante que a gente faça algum esboço para identificar das relações para calcularmos a área.

Portanto, se nós esboçarmos a janela, teremos:

Percebam que o esboço é bem simples, mas já é suficiente para que nós visualizemos que:

A j a n e l a = A r e t â n g u l o + A t r i â n g u l o

A j a n e l a = a b + b h 2

A j a n e l a = a b + b l sen ⁡ θ 2

Só que o comprimento l do triângulo e o comprimento b da sua base são correlacionados através da seguinte relação trigonométrica:

cos ⁡ θ = b 2 l ⟹ l = b 2 cos ⁡ θ

E portanto,

A j a n e l a = a b + b 2 sen ⁡ θ 4 cos ⁡ θ = a b + b 2 tan ⁡ θ 4

E assim chegamos a nossa função que queremos maximizar!

Passo 2

Antes de utilizarmos a metodologia de maximização, vamos aplicação trabalhar com a restrição do nosso problema.

Esta restrição nos diz que o perímetro da janela é igual a 12. Sendo assim, temos a seguinte equação:

b + 2 a + 2 l = 12

Só que l = b 2 cos ⁡ θ . Realizando a mudança, temos:

b + 2 a + b cos ⁡ θ = 12

a = 6 - b 2 1 + 1 cos ⁡ θ

E com isto, a nossa função A j a n e l a será:

A j a n e l a = 6 - b 2 1 + 1 cos ⁡ θ b + b 2 tan ⁡ θ 4

A j a n e l a = f b , θ = 6 b - b 2 2 1 + 1 cos ⁡ θ + b 2 tan ⁡ θ 4

E agora temos a nossa função que devemos maximizar!

Passo 3

Agora, vamos discutir o domínio da função. Este ponto é importante para maximizarmos ela, visto que deveremos encontrar os pontos críticos dentro da região do domínio e estuda-los.

Então, domínio é o conjunto de valores que uma variável possa existir em relação a uma determinada função. Como estamos trabalhando com dimensões, com comprimentos, temos que lembrar que todas as medidas devem ser positivas (primeira sacada aqui)!

Bom, e em relação a nossa função, f b , θ , quais seriam as restrições das nossas variáveis?

Começando pela mais fácil, temos o comprimento b , do lado do nosso retângulo. Por ser uma medida física, ele deve ser maior do que zero! E qual será o seu valor máximo? Aí a gente diz que é em relação ao perímetro da janela. Ele deve ser menor que o perímetro (nunca igual, pois aí significa que as outras medidas da janela são nulas!). Portanto,

0 < b < 12

Agora temos o ângulo θ . Ele é semelhante ao caso do comprimento b , só que aqui devemos focar exclusivamente no triângulo isósceles. Para que ele exista, as somas dos ângulos devem ser iguais a 180° (e todos diferente de zero). Portanto, como temos dois ângulos θ iguais, temos:

0 < θ < 90 °

E assim determinamos o domínio da nossa função!

Passo 4

Agora vamos começar o processo de maximização. Para isto, vamos começar por obter os pontos críticos da nossa função f b , θ . Mas o que são os pontos críticos? Como conseguimos determina-los?

Estes pontos são aqueles que fazem com que as derivadas parciais da nossa função f sejam iguais a zero. Isto é:

f b b , θ = f θ b , θ = 0

Em outras palavras, podemos dizer que o gradiente de f é o vetor nulo. Logo, ∇ f x , y = 0,0 . Portanto, precisamos calculas as derivadas parciais da nossa função primeiramente. Logo,

f b b , θ = 6 - b 1 + 1 cos ⁡ θ + b tan ⁡ θ 2 = 0

f θ b , θ = - b 2 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + b 2 sec 2 ⁡ θ 4 = 0

Lembrando que ao derivarmos parcialmente em relação a uma variável, consideramos as demais como constantes.

Portanto, temos o seguinte sistema:

b 1 cos ⁡ θ + 1 - tan ⁡ θ 2 = 6 b 2 sec ⁡ θ 4 sec ⁡ θ - 2 tan ⁡ θ = 0 ⟹ b 1 cos ⁡ θ + 1 - sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ = 6 b 2 sec ⁡ θ 4 1 cos ⁡ θ - 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

b 1 + 2 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 6 b 2 sec ⁡ θ 4 1 - 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

Agora temos que resolver o sistema acima. Vamos começar pela segunda equação que é mais fácil (está igualada a zero). As possíveis soluções são:

b = sec ⁡ θ = 1 - 2 sin ⁡ θ = 0

Se fizermos b = 0 , estamos fora do domínio da função. Então, não temos essa possibilidade. Já sec ⁡ θ = 0 não existe! Não existe nenhum valor de θ tal que sec ⁡ θ seja igual a zero. Por fim, só nos resta uma única possibilidade...

1 - 2 sin ⁡ θ = 0

sin ⁡ θ = 1 2

θ = 30 ° = π 6

Opaaa!!! Não seria esse o valor que a questão nos pediu para provar?? Acho que estamos quase lá heim! Vamos descobrir o valor de b na primeira equação agora, para sabermos qual o nosso ponto. Portanto,

b 1 + 2 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 6

b 1 + 2 cos ⁡ 30 ° - sin ⁡ 30 ° cos ⁡ 30 ° = 6

b 1 + 3 - 1 2 3 2 = 6

b 1 2 + 3 = 3 3

b 1 + 2 3 = 6 3

b = 6 3 1 + 2 3 ⋅ 1 - 2 3 1 - 2 3 = 6 3 - 36 1 - 12 = 36 - 6 3 11

E o nosso ponto é 36 - 6 3 11 , π 6 .

Passo 5

Por fim, para finalizarmos a questão, vamos checar se este nosso ponto crítico é ponto de máximo. Pois, se ele for, será o ponto de máximo global (único ponto crítico de uma região que não contém a fronteira).

Para isto, vamos precisar calcular o hessiano de f . Relembrando, o hessiano é dado pelo determinante da seguinte matriz:

Δ = f b b b , θ f b θ b , θ f θ b b , θ f θ θ b , θ

Calculando as derivadas parciais de segunda ordem, temos:

f b b , θ = 6 - b 1 + 1 cos ⁡ θ + b tan ⁡ θ 2 ⟹ f b b b , θ = - 1 + 1 cos ⁡ θ + tan ⁡ θ 2 f b θ b , θ = - sec ⁡ θ tan ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ 2

f θ b , θ = - b 2 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + b 2 sec 2 ⁡ θ 4 ⟹ f θ b b , θ = - b sec ⁡ θ tan ⁡ θ + b sec 2 ⁡ θ 2 f θ θ b , θ = - b 2 2 sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ - tan ⁡ θ sec ⁡ θ

As relações acima ficaram bem grandes. Para facilitar nossas vidas, vamos substituir apenas o valor de θ = π / 6 nas derivadas parciais. Somente depois iremos substituir o valor de b . Para isto, temos:

f b b b , π 6 = - 1 + 1 cos ⁡ π 6 + tan ⁡ π 6 2 = - 1 + 2 3 3 + 3 3 2 = - 3 - 3 2 f b θ b , π 6 = - sec ⁡ π 6 tan ⁡ π 6 + sec 2 ⁡ π 6 2 = - 2 3 3 ⋅ 3 3 + 2 3 3 2 2 = 0

Bom, como f b θ = 0 , não precisamos calcular o valor de f θ b , pois, mesmo que o Teorema de Clairaut não seja válido aqui, na hora de realizarmos a multiplicação entre essas derivadas no hessiano, teremos o valor 0. Logo, calculando apenas f θ θ . Temos:

f θ θ b , π 6 = - b 2 2 sec ⁡ π 6 tan 2 ⁡ π 6 + sec 2 ⁡ π 6 - tan ⁡ π 6 sec ⁡ π 6

f θ θ b , π 6 = - b 2 2 ⋅ 2 3 3 3 3 2 + 2 3 3 2 - 3 3 ⋅ 2 3 3  

f θ θ b , π 6 = - b 2 ⋅ 3 3 1 3 + 4 3 - 2 3   = - b 2 ⋅ 3 3

E assim, nosso hessiano será:

Δ = - 3 - 3 2 0 f θ b b , θ - b 2 ⋅ 3 3 = - 3 - 3 2 ⋅ - b 2 ⋅ 3 3 = 3 + 3 2 ⋅ b 2 ⋅ 3 3

Como 3 + 3 2 > 0 e b 2 ⋅ 3 3 > 0 , pois b ≠ 0 , então, temos que Δ > 0 .

Continuando, como Δ > 0 e f b b b , π 6 = - 3 - 3 2 < 0 , então, temos um ponto de máximo em em 36 - 6 3 11 , π 6 ! E esse será o nosso ponto de máximo global!

Portanto, provamos que o ângulo da base do triângulo será π / 6 , e assim finalizamos a questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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