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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Otoniel Nogueira - Lista 08, Questão 1o

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de f .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de f em relação a x .

(o) f x , y = x 2 + 2 y 2 + 3 x y + 2 x + 2 y .

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dada uma função f x , y e a partir dela temos que obter algumas informações...

Primeiro temos que obter as derivadas parciais de primeira ordem e os pontos críticos de f igualando as derivadas de primeira ordem a 0 .

Depois temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f e montar a matriz Hessiana.

E por último queremos classificar os pontos críticos que encontramos no início a partir do sinal da segunda derivada de f em x e pelo sinal da matriz Hessiana...

Parece dificil? 🤔

Passo 2

A função f é dada por

f x , y = x 2 + 2 y 2 + 3 x y + 2 x + 2 y

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f .

∇ f = f x , f y = ∂ x 2 + 2 y 2 + 3 x y + 2 x + 2 y ∂ x , ∂ x 2 + 2 y 2 + 3 x y + 2 x + 2 y ∂ y

∇ f = 2 x + 3 y + 2,4 y + 3 x + 2

Igualando ∇ f a um vetor nulo vamos obter os pontos críticos de f ...

∇ f = 2 x + 3 y + 2,4 y + 3 x + 2 = 0,0

2 x + 3 y + 2 = 0

4 y + 3 x + 2 = 0 → x = - 2 + 4 y 3

Substituindo a segunda equação na primeira...

2 x + 3 y + 2 = 0 → 2 - 2 + 4 y 3 + 3 y + 2 = 0

- 4 - 8 y 3 + 3 y + 2 = 0

- 4 - 8 y + 9 y + 6 = 0

y = - 2

Dessa forma temos

x = - 2 + 4 - 2 3

x = 2

Portanto temos apenas um ponto crítico P 1 = 2 , - 2

Bacana, não é? 👀

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e montamos a matriz Hessiana.

f x x = ∂ 2 x + 3 y + 2 ∂ x = 2

f x y = ∂ 2 x + 3 y + 2 ∂ y = 3

f y x = ∂ 4 y + 3 x + 2 ∂ x = 3

f y y = ∂ 4 y + 3 x + 2 ∂ y = 4

A matriz Hessiana é obtida a partir das derivadas de segunda ordem de f .

H = f x x f x y f y x f y y

H = 2 3 3 4

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 4

Por último, queremos classificar o ponto crítico que encontramos no início do problema...

Se D e t H > 0 e f x x > 0 , o ponto crítico é mínimo.

Se D e t H > 0 e f x x < 0 , o ponto crítico é máximo.

já se D e t H < 0 o ponto crítico é sela.

Para o ponto P 1 , temos

H P 1 = 2 3 3 4

D e t H P 1 = - 1

Dessa forma, como D e t H < 0 podemos afirmar que P 1 é um ponto sela.

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

P 1 = 2 , - 2

H = 2 3 3 4

P 1 é um ponto sela

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