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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

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Enunciado

UFAM– Cálculo 2 – P1 – Questão 3.2

  1. Encontre os valores pontos na elipse x 2 + x y + y 2 = 3 mais próximos e mais distantes da origem

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema nos pediu os pontos mais próximos e mais distantes, então precisamos encontrar uma função que nos dê a distância entre dois pontos:

D 2 = x - x 0 2 + y - y 0 2

Mas ( x 0 , y 0 ) é a origem, então a função que queremos é:

D 2 = x 2 + y 2

E pediu para calcularmos os valores de máximos e mínimos dessa função, mas com uma restrição! Nesse conjunto aqui

x 2 + x y + y 2 = 3

Quando queremos encontrar máximos e mínimos com uma restrição você precisa lembrar de: MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

A função a ser minimizada/maximizada (é a função distância):

f x , y = x 2 + y 2

E a restrição (só jogar todo conjunto para um mesmo lado e igualar a zero):

g x , y = x 2 + x y + y 2 - 3

E aplicar a técnica dos multiplicadores!

Vamos revisar passo a passo?

  • Achar os pontos críticos fazendo ∇ f = 0
  • Calcular ∇ g
  • Montar um sistema com ∇ f = λ ∇ g e com a restrição x 2 + x y + y 2 = 3
  • Encontrar os pontos que satisfazem esse sistema
  • E avaliar os pontos para saber qual é o máximo e qual é o mínimo

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Começando por calcular os gradientes

∇ f = 2 x , 2 y = 0

Daqui temos duas equações:

2 x = 0 → x = 0

E

2 y = 0 → y = 0

Temos apenas um ponto crítico sem restrição:

P 1 0 , 0

Mas esse ponto não vale na nossa avaliação, pois queremos os pontos que ESTÃO SOBRE a elipse

x 2 + x y + y 2 = 3

E se fizermos x = y = 0 , esse ponto não vai satisfazer nossa restrição, e portanto está FORA DA NOSSA AVALIAÇÃO

Beleza?

Passo 3

Agora vamos calcular ∇ g :

g x , y = x 2 + x y + y 2 - 3

∇ g = ( 2 x + y ,   2 y + x )

Passo 4

Agora vamos montar nosso sistema de equações:

∇ f = λ ∇ g

2 x ,   2 y = λ ( 2 x + y ,   2 y + x )

Igualando as componentes temos um sistema

2 x = λ ( 2 x + y ) 2 y = λ ( 2 y + x ) x 2 + x y + y 2 = 3

Agora #partiu resolver esse sistema!

Multiplicando a primeira equação por y λ e a segunda por x λ temos:

2 x y y = 2 x y + y 2 = 2 x y y = 2 x y + x 2

O que nos dá:

x 2 = y 2

E daqui temos

y = ± x

E agora vamos substituir esse y na restrição para saber os valores de x . Começando por y = x :

x 2 + x x + x 2 = 3

3 x 2 = 3 → x = ± 1

E aqui temos dois pontos:

P 2 ( 1,1 )

P 3 ( - 1 , - 1 )

Beleza?

Passo 5

Agora vamos substituir y = - x na restrição:

x 2 + x - x + x 2 = 3

x 2 = 3 → x = ± 3

Aqui temos mais 2 pontos (um para cada valor de y):

P 4 - 3 , 3

P 5 3 , - 3

Tranquilo até aqui?

Passo 6

Nossa última missão é avaliar esses quatro pontos na função e aí verificar qual deles vai assumir o maior/menor valor:

Os pontos são

P 2 ( 1,1 )

P 3 ( - 1 , - 1 )

P 4 - 3 , 3

P 5 3 , - 3

A função é

f x , y = x 2 + y 2

Agora vamos substituir os três pontos na função:

f P 2 = 1 2 + 1 2 = 2

f P 3 = - 1 2 + - 1 2 = 2

f P 4 = - 3 2 + 3 2 = 6

f P 4 = 3 2 + - 3 2 = 6

Concluímos que os pontos mais próximos são

P 2   e   P 3

E os mais distantes os pontos

P 4   e   P 5

Assim nossa resposta final fica:

m a i s   p r ó x i m o s : 1,1 ,   ( - 1 , - 1 )

m a i s   d i s t a n t e s : - 3 , 3 ,   ( 3 , - 3 )

Ufa! Terminamos!

Até próxima!

Resposta

m a i s   p r ó x i m o s : 1,1 ,   ( - 1 , - 1 )

m a i s   d i s t a n t e s : - 3 , 3 ,   ( 3 , - 3 )

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