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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Otoniel Nogueira - Lista 08, Questão 1f

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de f .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de f em relação a x .

(f) f x , y = 3 x y 2 + x 3 - 3 x .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema foi dada uma função f x , y e a partir dela temos que obter algumas informações...

Primeiro temos que obter as derivadas parciais de primeira ordem e os pontos críticos de f igualando as derivadas de primeira ordem a 0 .

Depois temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f e montar a matriz Hessiana.

E por último queremos classificar os pontos críticos que encontramos no início a partir do sinal da segunda derivada de f em x e pelo sinal da matriz Hessiana...

Parece dificil? 🤔

Passo 2

A função f é dada por

f x , y = 3 x y 2 + x 3 - 3 x

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f .

∇ f = f x , f y = ∂ 3 x y 2 + x 3 - 3 x ∂ x , ∂ 3 x y 2 + x 3 - 3 x ∂ y

∇ f = 3 y 2 + 3 x 2 - 3 , 6 x y

Igualando ∇ f a um vetor nulo vamos obter os pontos críticos de f ...

∇ f = 3 y 2 + 3 x 2 - 3,6 x y = 0,0

3 y 2 + 3 x 2 - 3 = 0

6 x y = 0

Da equação 6 x y = 0 , temos que x = 0 e/ou y = 0 .

Se x = 0

3 y 2 + 3 0 2 - 3 = 0 → y = ± 1

Se y = 0

3 0 2 + 3 x 2 - 3 = 0 → x = ± 1

Portanto temos quatro pontos críticos P 1 = 1 , 0 , P 2 = - 1,0 , P 3 = 0 , 1 e P 4 = 0 , - 1

Bacana, não é? 👀

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e montamos a matriz Hessiana.

f x x = ∂ 3 y 2 + 3 x 2 - 3 ∂ x = 6 x

f x y = ∂ 3 y 2 + 3 x 2 - 3 ∂ y = 6 y

f y x = ∂ 6 x y ∂ x = 6 y

f y y = ∂ 6 x y ∂ y = 6 x

A matriz Hessiana é obtida a partir das derivadas de segunda ordem de f .

H = f x x f x y f y x f y y

H = 6 x 6 y 6 y 6 x

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 4

Por último, queremos classificar o ponto crítico que encontramos no início do problema...

Se D e t H > 0 e f x x > 0 , o ponto crítico é mínimo.

Se D e t H > 0 e f x x < 0 , o ponto crítico é máximo.

já se D e t H < 0 o ponto crítico é sela.

Para o ponto P 1 , temos

H P 1 = 6 1 6 0 6 0 6 1 = 6 0 0 6 → D e t H P 1 = 36

Dessa forma, como D e t H > 0 e f x x > 0 , podemos afirmar que P 1 é um ponto de mínimo.

Para P 2

H P 2 = 6 - 1 6 0 6 0 6 - 1 = - 6 0 0 - 6 → D e t H P 2 = 36

Dessa forma, como D e t H > 0 e f x x < 0 , podemos afirmar que P 2 é um ponto de máximo.

Para P 3

H P 3 = 6 0 6 1 6 1 6 0 = 0 6 6 0 → D e t H P 3 = - 36

Dessa forma, como D e t H < 0 podemos afirmar que P 3 é um ponto de sela.

Para P 4

H P 4 = 6 0 6 - 1 6 - 1 6 0 = 0 - 6 - 6 0 → D e t H P 3 = - 36

Dessa forma, como D e t H < 0 podemos afirmar que P 4 é um ponto de sela.

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

P 1 = 1,0 , P 2 = - 1,0 , P 3 = 0,1 e P 4 = 0 , - 1

H = 6 x 6 y 6 y 6 x

P 1 é um ponto de mínimo

P 2 é um ponto de máximo

P 3 é um ponto de sela

P 4 é um ponto de sela

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