UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, 1° Estágio - 2018.1, Questão 4
Determine os pontos críticos de classificando-os como pontos de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente determinar os pontos críticos de e classifica-los como pontos de máximo, de mínimo ou de sela.
Os pontos críticos de uma função de várias variáveis são aqueles onde as derivadas parciais valem zero, ou pelo menos uma delas não existe. Então, o que nós vamos fazer é calcular essas derivadas em relação a , e e igualar o resultado a zero pra obter os pontos críticos.
Pra classificar esses pontos, nós vamos precisar calcular a matriz hessiana:
Se , pode ser um ponto de máximo ou mínimo, o que vai determinar é se , e nós teremos um ponto de mínimo, ou se , e nós teremos um ponto de máximo.
Mas se , nós teremos um ponto de sela.
Então vamos analisar!
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada da função em relação a (considerando os termos que não tem como constantes):
Igualando essa derivada a zero, temos:
Pra que esse produto seja verdadeiro ou . Assim, temos:
Passo 3
Agora calculando a derivada parcial em relação a , temos:
Igualando essa equação a zero:
Logo,
Dessa forma, com os valores de e que calculamos, encontramos os pontos críticos da função:
Pra saber se esses são pontos de máximo, mínimo ou de sela, vamos precisar da segunda derivada.
Passo 4
Calculando a segunda derivada em relação a , temos:
E em relação a :
Também vamos precisar calcular , derivando a primeira derivada de em relação a :
E , derivando a primeira derivada de em relação a :
Passo 5
Agora podemos montar nossa matriz:
No ponto , temos:
Montando nossa matriz:
Como , temos um ponto de sela.
Passo 6
Para o ponto , temos:
Montando nossa matriz:
Como , temos um ponto de mínimo.
Passo 7
Para o ponto , temos:
Montando nossa matriz:
Como , temos novamente um ponto de mínimo.
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉