UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, 1° Estágio - 2018.1, Questão 5
Se três números positivos , e é tal que o produto , determine tais números sabendo que sua soma, assume valor máximo.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente encontrar três números positivos cujo produto e que tem a soma com valor máximo. Como nós temos uma função que é maximizada, , e uma restrição , nós podemos usar os multiplicadores de Lagrange para encontrar nossa solução.
Dessa forma, pra encontrar os pontos de máximo ou de mínimo basta resolver o seguinte:
Onde , e são as derivadas parciais da função . E , , são as derivadas parciais da função . Resolvendo esse determinante nós vamos conseguir descobrir os valores de , e .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais de na forma:
Derivando em relação a cada variável e mantendo as outras constantes, temos:
Esse é o vetor gradiente da função .
Agora vamos calcular o vetor gradiente da função derivando em relação a cada variável:
Passo 3
Agora podemos montar nossa matriz:
Calculando o determinante, temos:
Na forma vetorial, fica:
Como o vetor é igual ao vetor nulo, então cada componente é igual a zero:
Da primeira equação, temos:
Na segunda equação, temos:
E da terceira equação:
Passo 4
Vamos pegar um desses resultados e substituir na nossa função , que é a nossa restrição:
Usando e , temos:
Logo,
Substituindo em , temos:
E para :
Assim, nossos números são , e , e a soma:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉