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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Otoniel Nogueira - Lista 08, Questão 1h

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de f .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de f em relação a x .

(h) f x , y = x 2 + x y + y 2 + 3 x + 3 y + 5 .

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dada uma função f x , y e a partir dela temos que obter algumas informações...

Primeiro temos que obter as derivadas parciais de primeira ordem e os pontos críticos de f igualando as derivadas de primeira ordem a 0 .

Depois temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f e montar a matriz Hessiana.

E por último queremos classificar os pontos críticos que encontramos no início a partir do sinal da segunda derivada de f em x e pelo sinal da matriz Hessiana...

Parece dificil? 🤔

Passo 2

A função f é dada por

f x , y = x 2 + x y + y 2 + 3 x + 3 y + 5

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f .

∇ f = f x , f y = ��� x 2 + x y + y 2 + 3 x + 3 y + 5 ∂ x , ∂ x 2 + x y + y 2 + 3 x + 3 y + 5 ∂ y

∇ f = 2 x + y - 3 x 2 , x + 2 y - 3 y 2

Igualando ∇ f a um vetor nulo vamos obter os pontos críticos de f ...

∇ f = 2 x + y - 3 x 2 , x + 2 y - 3 y 2 = 0,0

2 x + y - 3 x 2 = 0 → 2 x + y - 3 x 2 · x 2 = 0 · x 2 → 2 x 3 + x 2 y - 3 = 0

x + 2 y - 3 y 2 = 0 → x + 2 y - 3 y 2 · y 2 = 0 · y 2 → x y 2 + 2 y 3 - 3 = 0

Igualando as duas equações...

2 x 3 + x 2 y - 3 = x y 2 + 2 y 3 - 3

2 x 3 + x 2 y = x y 2 + 2 y 3

Por simetria, temos que x = y , ou seja

2 x 3 + x 2 x - 3 = 0 → 2 x 3 + x 3 = 3

3 x 3 = 3 → x = 1

Portanto temos apenas um ponto crítico P = 1 , 1 .

Bacana, não é? 👀

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e montamos a matriz Hessiana.

f x x = ∂ 2 x + y - 3 x 2 ∂ x = 2 + 6 x 3

f x y = ∂ 2 x + y - 3 x 2 ∂ y = 1

f y x = ∂ x + 2 y - 3 y 2 ∂ x = 1

f y y = ∂ x + 2 y - 3 y 2 ∂ y = 2 + 6 y 3

A matriz Hessiana é obtida a partir das derivadas de segunda ordem de f .

H = f x x f x y f y x f y y

H = 2 + 6 x 3 1 1 2 + 6 y 3

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 4

Por último, queremos classificar o ponto crítico que encontramos no início do problema...

Se D e t H > 0 e f x x > 0 , o ponto crítico é mínimo.

Se D e t H > 0 e f x x < 0 , o ponto crítico é máximo.

já se D e t H < 0 o ponto crítico é sela.

Para o ponto P , temos

H P = 2 + 6 1 3 1 1 2 + 6 1 3 = 8 1 1 8

D e t H P = 62

Dessa forma, como D e t H > 0 e f x x > 0 , podemos afirmar que P é um ponto de mínimo.

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

P = 1,1

H = 2 + 6 x 3 1 1 2 + 6 y 3

P é um ponto de mínimo

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