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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Otoniel Nogueira - Lista 08, Questão 1l

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de f .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de f em relação a x .

(l) f x , y = x 2 - y 2 - 3 x y + x + 4 y .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada uma função f x , y e a partir dela temos que obter algumas informações...

Primeiro temos que obter as derivadas parciais de primeira ordem e os pontos críticos de f igualando as derivadas de primeira ordem a 0 .

Depois temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f e montar a matriz Hessiana.

E por último queremos classificar os pontos críticos que encontramos no início a partir do sinal da segunda derivada de f em x e pelo sinal da matriz Hessiana...

Parece dificil? 🤔

Passo 2

A função f é dada por

f x , y = x 2 - y 2 - 3 x y + x + 4 y

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f .

∇ f = f x , f y = ∂ x 2 - y 2 - 3 x y + x + 4 y ∂ x , ∂ x 2 - y 2 - 3 x y + x + 4 y ∂ y

∇ f = 2 x - 3 y + 1 , - 2 y - 3 x + 4

Igualando ∇ f a um vetor nulo vamos obter os pontos críticos de f ...

∇ f = 2 x - 3 y + 1 , - 2 y - 3 x + 4 = 0,0

2 x - 3 y + 1 = 0

- 2 y - 3 x + 4 = 0 → 3 x = 4 - 2 y → x = 4 - 2 y 3

Substituindo a segunda equação na primeira...

2 x - 3 y + 1 = 0 → 2 4 - 2 y 3 - 3 y + 1 = 0

8 3 - 4 y 3 - 3 y + 1 = 0

8 - 4 y - 9 y + 3 = 0

13 y = 11

y = 11 13

Dessa forma temos

x = 4 - 2 11 13 3 = 10 13

Portanto temos apenas um ponto crítico P 1 = 10 13 , 1 1 13

Bacana, não é? 👀

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e montamos a matriz Hessiana.

f x x = ∂ 2 x - 3 y + 1 ∂ x = 2

f x y = ∂ 2 x - 3 y + 1 ∂ y = - 3

f y x = ∂ - 2 y - 3 x + 4 ∂ x = - 3

f y y = ∂ - 2 y - 3 x + 4 ∂ y = - 2

A matriz Hessiana é obtida a partir das derivadas de segunda ordem de f .

H = f x x f x y f y x f y y

H = 2 - 3 - 3 - 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 4

Por último, queremos classificar o ponto crítico que encontramos no início do problema...

Se D e t H > 0 e f x x > 0 , o ponto crítico é mínimo.

Se D e t H > 0 e f x x < 0 , o ponto crítico é máximo.

já se D e t H < 0 o ponto crítico é sela.

Para o ponto P 1 , temos

H P 1 = 2 - 3 - 3 - 2

D e t H P 1 = - 13

Dessa forma, como D e t H < 0 podemos afirmar que P 1 é um ponto sela.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

P 1 = 10 13 , 11 13

H = 2 - 3 - 3 - 2

P 1 é um ponto sela

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