Uma empresa produz camisas e calças por mês. Cada camisa é vendida por , e cada calça por . O custo total da empresa para produzir e vender camisas e calças é . Admitindo que tudo o que a empresa produz é vendido de fato, determine a produção que maximiza o lucro da empresa, bem como o lucro máximo possível. (Dica: o lucro é o total arrecadado com as vendas menos o custo da produção e venda.)
Passo 1
Pois então! Para a gente começar o exercício devemos encontrar primeiro a função de lucro dessa empresa e como foi dito na dica: devemos pegar tudo que a empresa arrecadou com as vendas e reduzir do custo.
O lucro com as camisas vendidas é dado multiplicando o preço de uma camisa pelo total de camisas vendidas
Fazendo o mesmo para encontrar o lucro com as calças
Agora somando esses lucros e diminuindo o custo vamos obter o nosso lucro total, dessa forma
Que expressão feia, neh? Vamos então tirar esses parênteses e juntar os termos semelhantes
Bem, com o lucro encontrado, devemos procurar os valores de e que maximize essa função, ou seja, o ponto de máximo global. Partiu aumentar o nosso lucro? :)
Passo 2
Para encontrar os possíveis pontos de máximos devemos procurar aqueles que anulam o vetor gradiente, os chamados pontos críticos
O vetor gradiente de é dado por
Logo, estamos atrás dos pontos que anulas essas derivadas. Então vamos calculá-las
Igualando essas derivadas parciais a , vamos encontrar
Resolvendo o sistema multiplicando a função de cima por e somando com a de baixo
Logo
Então, o único ponto crítico que temos que testar e verificar se é de máximo é .
Passo 3
Para a gente verificar, vamos usar a matriz o determinante da matriz Hessiana, beleza?
A matriz Hessiana, formada pelas derivadas parciais de segunda ordem, é
Então vamos calcular essas derivadas!
Agora
Concluindo com as duas últimas integrais da Hessiana
Prontinho! Agora a gente pode jogar na Hessiana e calcular o determinante! ;)
Como o determinante deu positivo para qualquer ponto em especial ele é positivo para o ponto crítico que a gente encontrou. Lembre-se que essa era condição para existir um ponto de máximo e mínimo, agora temos que ver se é de máximo ou de mínimo
Como que a gente faz isso mesmo? Analisando essa derivada aqui oh:
Como ele é negativo, estamos falando de um ponto de máximo, e nesse caso, como encontramos um único ponto, ele é global :D
Passo 4
Jogando esse ponto, o que maximiza o nosso lucro, vamos obter