Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

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Enunciado

Uma empresa produz x camisas e y calças por mês. Cada camisa é vendida por 120 - 2 x , e cada calça por 200 - y . O custo total da empresa para produzir e vender x camisas e y calças é x 2 + 2 y 2 + 2 x y . Admitindo que tudo o que a empresa produz é vendido de fato, determine a produção que maximiza o lucro da empresa, bem como o lucro máximo possível. (Dica: o lucro é o total arrecadado com as vendas menos o custo da produção e venda.)

Passo 1

Pois então! Para a gente começar o exercício devemos encontrar primeiro a função de lucro L ( x , y ) dessa empresa e como foi dito na dica: devemos pegar tudo que a empresa arrecadou com as vendas e reduzir do custo.

O lucro com as camisas vendidas é dado multiplicando o preço de uma camisa pelo total de camisas vendidas

( 120 - 2 x ) x

Fazendo o mesmo para encontrar o lucro com as calças

( 200 - y ) y

Agora somando esses lucros e diminuindo o custo vamos obter o nosso lucro total, dessa forma

L x , y = 120 - 2 x x + 200 - y y - x 2 + 2 y 2 + 2 x y

Que expressão feia, neh? Vamos então tirar esses parênteses e juntar os termos semelhantes

L x , y = - 3 x 2 - 3 y 2 - 2 x y + 120 x + 200 y

Bem, com o lucro encontrado, devemos procurar os valores de x e y que maximize essa função, ou seja, o ponto de máximo global. Partiu aumentar o nosso lucro? :)

Passo 2

Para encontrar os possíveis pontos de máximos devemos procurar aqueles que anulam o vetor gradiente, os chamados pontos críticos

∇ L x , y = ( 0 ,   0 )

O vetor gradiente de L é dado por

∇ L x ,   y = ∂ L ∂ x x ,   y , ∂ L ∂ y ( x ,   y )

Logo, estamos atrás dos pontos que anulas essas derivadas. Então vamos calculá-las

∂ L ∂ x x ,   y = - 6 x - 2 y + 120

∂ L ∂ y x ,   y = - 6 y - 2 x + 200

Igualando essas derivadas parciais a 0 , vamos encontrar

- 6 x - 2 y + 120 = 0 - 6 y - 2 x + 200 = 0

Resolvendo o sistema multiplicando a função de cima por - 3 e somando com a de baixo

18 x + 6 y - 360 = 0 - 6 y - 2 x + 200 = 0       ⇒       16 x - 160 = 0     ⇒       x = 10

Logo

18 x + 6 y - 360 = 0 → 18 ∙ 10 + 6 y - 360 = 0

y = 180 6 = 30

Então, o único ponto crítico que temos que testar e verificar se é de máximo é ( 10 ,   30 ) .

Passo 3

Para a gente verificar, vamos usar a matriz o determinante da matriz Hessiana, beleza?

A matriz Hessiana, formada pelas derivadas parciais de segunda ordem, é

H ( x ,   y ) = ∂ L 2 ∂ x 2 ∂ L 2 ∂ x ∂ y ∂ L 2 ∂ y ∂ x ∂ L 2 ∂ y 2

Então vamos calcular essas derivadas!

∂ L 2 ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ L ∂ x = ∂ ∂ x - 6 x - 2 y + 120 = - 6

Agora

∂ L 2 ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ L ∂ y = ∂ ∂ y - 6 y - 2 x + 200 = - 6

Concluindo com as duas últimas integrais da Hessiana

∂ L 2 ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ L ∂ x = ∂ ∂ y - 6 x - 2 y + 120 = - 2

∂ L 2 ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ L ∂ y = ∂ ∂ x - 6 y - 2 x + 200 = - 2

Prontinho! Agora a gente pode jogar na Hessiana e calcular o determinante! ;)

| H x ,   y | = - 6 - 2 - 2 - 6 = 32

Como o determinante deu positivo para qualquer ponto ( x ,   y ) em especial ele é positivo para o ponto crítico que a gente encontrou. Lembre-se que essa era condição para existir um ponto de máximo e mínimo, agora temos que ver se é de máximo ou de mínimo

Como que a gente faz isso mesmo? Analisando essa derivada aqui oh: ∂ L 2 ∂ y ∂ x

Como ele é negativo, estamos falando de um ponto de máximo, e nesse caso, como encontramos um único ponto, ele é global :D

Passo 4

Jogando esse ponto, o 10 ,   30 , que maximiza o nosso lucro, vamos obter

L x , y = - 3 x 2 - 3 y 2 - 2 x y + 120 x + 200 y     ⇒

L 10 ,   30 = - 3 ( 1 0 ) 2 - 3 30 2 - 2 ∙ 10 ∙ 30 + 120 ∙ 10 + 200 ∙ 30 = 3600

Resposta

L 10 ,   30 = 3600

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