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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Otoniel Nogueira - Lista 08, Questão 1g

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de f .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de f em relação a x .

(g) f x , y = x e - x 2 - y 2 .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada uma função f x , y e a partir dela temos que obter algumas informações...

Primeiro temos que obter as derivadas parciais de primeira ordem e os pontos críticos de f igualando as derivadas de primeira ordem a 0 .

Depois temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f e montar a matriz Hessiana.

E por último queremos classificar os pontos críticos que encontramos no início a partir do sinal da segunda derivada de f em x e pelo sinal da matriz Hessiana...

Parece dificil? 🤔

Passo 2

A função f é dada por

f x , y = x e - x 2 - y 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f .

∇ f = f x , f y = ∂ x e - x 2 - y 2 ∂ x , ∂ x e - x 2 - y 2 ∂ y

∇ f = e - x 2 - y 2 - 2 x 2 e - x 2 - y 2 , - 2 x y e - x 2 - y 2

Igualando ∇ f a um vetor nulo vamos obter os pontos críticos de f ...

∇ f = e - x 2 - y 2 - 2 x 2 e - x 2 - y 2 , - 2 x y e - x 2 - y 2 = 0,0

e - x 2 - y 2 - 2 x 2 e - x 2 - y 2 = 0 → 1 - 2 x 2 = 0 → x = ± 1 2

- 2 x y e - x 2 - y 2 = 0 → x y = 0

Da equação temos que x y = 0 , ou seja, x = 0 ou y = 0 .

Como vimos que x = ± 1 / 2 , então temos que ter obrigatoriamente apenas y = 0

Portanto temos dois pontos críticos P 1 = 1 2 , 0 e P 2 = - 1 2 , 0 .

Bacana, não é? 👀

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e montamos a matriz Hessiana.

f x x = ∂ e - x 2 - y 2 - 2 x 2 e - x 2 - y 2 ∂ x = 4 x 3 - 6 x e - x 2 - y 2

f x y = ∂ e - x 2 - y 2 - 2 x 2 e - x 2 - y 2 ∂ y = 4 x 2 y - 2 y e - x 2 - y 2

f y x = ∂ - 2 x y e - x 2 - y 2 ∂ x = 4 x 2 y - 2 y e - x 2 - y 2

f y y = ∂ - 2 x y e - x 2 - y 2 ∂ y = 4 x y 2 - 2 x e - x 2 - y 2

A matriz Hessiana é obtida a partir das derivadas de segunda ordem de f .

H = f x x f x y f y x f y y

H = 4 x 3 - 6 x e - x 2 - y 2 4 x 2 y - 2 y e - x 2 - y 2 4 x 2 y - 2 y e - x 2 - y 2 4 x y 2 - 2 x e - x 2 - y 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 4

Por último, queremos classificar o ponto crítico que encontramos no início do problema...

Se D e t H > 0 e f x x > 0 , o ponto crítico é mínimo.

Se D e t H > 0 e f x x < 0 , o ponto crítico é máximo.

já se D e t H < 0 o ponto crítico é sela.

Para o ponto P 1 , temos

H P 1 = 4 1 2 3 - 6 1 2 e - 1 2 2 - 0 2 4 1 2 2 0 - 2 0 e - 1 2 2 - 0 2 4 1 2 2 0 - 2 0 e - 1 2 2 - 0 2 4 1 2 0 2 - 2 1 2 e - 1 2 2 - 0 2

H P 1 = - 2 2 e 0 0 - 2 e

D e t H P 1 = 8 e

Dessa forma, como D e t H > 0 e f x x < 0 , podemos afirmar que P 1 é um ponto de máximo.

Para P 2

H P 1 = 4 - 1 2 3 - 6 - 1 2 e - - 1 2 2 - 0 2 4 - 1 2 2 0 - 2 0 e - - 1 2 2 - 0 2 4 - 1 2 2 0 - 2 0 e - - 1 2 2 - 0 2 4 - 1 2 0 2 - 2 - 1 2 e - - 1 2 2 - 0 2

H P 1 = 2 2 e 0 0 2 e

D e t H P 2 = 8 e

Dessa forma, como D e t H > 0 e f x x > 0 , podemos afirmar que P 2 é um ponto de mínimo.

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

P 1 = 1 2 , 0 e P 2 = - 1 2 , 0

H = 4 x 3 - 6 x e - x 2 - y 2 4 x 2 y - 2 y e - x 2 - y 2 4 x 2 y - 2 y e - x 2 - y 2 4 x y 2 - 2 x e - x 2 - y 2

P 1 é um ponto de máximo

P 2 é um ponto de mínimo

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