UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Otoniel Nogueira - Lista 08, Questão 1k
1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).
(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .
(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .
(k) .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema foi dada uma função e a partir dela temos que obter algumas informações...
Primeiro temos que obter as derivadas parciais de primeira ordem e os pontos críticos de igualando as derivadas de primeira ordem a .
Depois temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem de e montar a matriz Hessiana.
E por último queremos classificar os pontos críticos que encontramos no início a partir do sinal da segunda derivada de em e pelo sinal da matriz Hessiana...
Parece dificil? 🤔
Passo 2
A função é dada por
Vamos começar calculando as derivadas parciais de .
Igualando a um vetor nulo vamos obter os pontos críticos de ...
Substituindo a segunda equação na primeira...
Dessa forma temos
Portanto temos apenas um ponto crítico
Bacana, não é? 👀
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e montamos a matriz Hessiana.
A matriz Hessiana é obtida a partir das derivadas de segunda ordem de .
Tranquilo até aqui? 😬
Passo 4
Por último, queremos classificar o ponto crítico que encontramos no início do problema...
Se e , o ponto crítico é mínimo.
Se e , o ponto crítico é máximo.
já se o ponto crítico é sela.
Para o ponto , temos
Dessa forma, como e , podemos afirmar que é um ponto de mínimo.
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
é um ponto de mínimo