Sabemos que a esperança e a variância de uma v.a. podem ser encaradas, respectivamente, como a abscissa do centro de gravidade e o momento de inércia de uma distribuição de massa, e que isso vale tanto no caso discreto como no caso contínuo. Admita que a função de densidade da v.a. contínua é dada por:
- Determine e Dica: Fazer um gráfico da função.
- Admita agora que é uma v.a. discreta que só pode assumir três valores: e . Obtenha a função de probabilidade da v.a. , sabendo que e Isso significa que ambas as distribuições de massa têm o mesmo centro de gravidade e o mesmo momento de inércia, embora uma seja contínua e a outra seja discreta.
Passo 1
(a)
Vamos só aplicar fórmulas de variáveis aleatórias contínuas...
Para a esperança:
Em todo o domínio da nossa função... isso nos dá:
Procura os semelhantes aí e vai cortando... viu o que sobra? Nada kkk
O exercício diz pra você desenhar a função por isso, desenhando você veria que ela é simétrica e daí poderia concluir que a esperança seria zero.
Passo 2
Para variância a gente usa a relação:
Sendo que a gente já sabe que , falta só calcular , que é:
Em todo o domínio da nossa função... isso nos dá:
E daí:
Passo 3
(b)
A gente conhece os três possíveis valores de , que são: .
Pra fazer a função de distribuição da variável falta só a gente determinar com que probabilidade cada um desses valores acontece, ou seja, a gente tem que determinar:
Show?
E a gente sabe o valor da esperança e da variância, que são iguais ao que a gente calculou em (a) pra .
Passo 4
A esperança de uma variável discreta, como que a gente faz? Lembra? A gente multiplica os possíveis valores da variável pelas suas probabilidades... então:
Daí:
Ok!
Passo 5
Vamos usar o dado da variância agora...
Como ...
E isso é:
Só que a gente sabe que ... daí:
Passo 6
Daí você se pergunta como que a gente faz pra descobrir se ele sempre tá zerando...
Lembra que o somatório de todas essas probabilidades de uma variável tem que dar ?
Então:
Show? Já temos a função de probabilidade de .