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Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

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Enunciado

Probabilidade e Estatística – PUC RJ – 2019.2 – P1 – Questão 2

Uma pessoa está viajando e pretende alugar um carro. A distância (em km) que ela irá percorrer diariamente é uma variável aleatória com densidades:

f x = x - 25 3000 ,     s e     60 ≤ x ≤ 90 155 - x 4000 ,     s e     90 ≤ x ≤ 140

Existem duas opções de diárias de aluguel:

1. Opção 1: R$80,00 + R$ 0,40 por km rodado;

2. Opção 2: R$ 90,00 se rodar até 120 km e R$ 100,00 se rodar mais de 120 km num dia.

Ache os valores dos custos das opções 1 e 2 e diga qual das opções é mais vantajosa em média para esta pessoa.

Passo 1

Eai galerinha, bora para mais uma questão de probabilidade!!!

O exercício forneceu para gente a densidade de probabilidade da distância diária percorrida pela pessoa:

f x = x - 25 3000 ,     s e     60 ≤ x ≤ 90 155 - x 4000 ,     s e     90 ≤ x ≤ 140

Além disso, deram para gente duas opções para o aluguel do carro. O problema quer saber qual das duas opções é a mais vantajosa EM MÉDIA.

Detalhe para o destaque que eu dei para o termo “EM MÉDIA”.

Para resolver esse problema nós temos que achar a distância média percorrida pela pessoa por dia. Como temos a f.d.p isso não deve ser problema, basta lembrar que o valor médio é dado por

E x = ∫ x   f x   d x

Passo 2

Como a f.d.p é dividida em duas partes, temos que quebrar essa integral em duas:

E x = ∫ 60 90 x   x - 25 3000   d x + ∫ 90 140 x   155 - x 4000   d x

Fazendo as distributivas e puxando o denominador para fora da integral:

E x = 1 3000 ∫ 60 90 x 2 - 25 x   d x + 1 4000 ∫ 90 140 155 x - x 2   d x

Agora é só fazer a integral:

E x = 1 3000 x 3 3 - 25 x 2 2 60 90 + 1 4000 155 x 2 2 - x 3 3 90 140

E x = 1 3000 90 3 3 - 25 ⋅ 90 2 2 - 60 3 3 + 25 ⋅ 60 2 2 + 1 4000 155 ⋅ 140 2 2 - 140 3 3 - 155 ⋅ 90 2 2 + 90 3 3

Partiu fazer continha:

E x = 1 3000 171000 - 56250 + 1 4000 891250 - 671666,6667

E x = 38,25 + 54,8958 = 93,1458

Portanto, o valor médio da distância percorrida pela pessoa é 93,1458 km por dia. Isso significa que todo dia ela vai percorrer essa distância? Não! É apenas o valor médio...

Passo 3

Vamos usar esse valor médio nas duas situações para o aluguel do carro.

Na situação 1, temos: R$80,00 + R$ 0,40 por km rodado. Portanto,

P 1 = 80 + 0,40 ⋅ 93,1458 = 117,2583

Já na situação 2, temos R$ 90,00 se rodar até 120 km e R$ 100,00 se rodar mais de 120 km. Como é média ele percorre menos de 120km, o preço seria

P 2 = 90

Vemos que a segunda situação é mais vantajosa pois o preço é menor. Mas é importante ressaltar que isso não significa que todo dia essa situação vai ser mais vantajosa: pode acontecer de em um determinado dia a pessoa percorrer uma distância em que a situação 1 seja mais vantajosa financeiramente. Todavia, em média, a situação 2 é melhor pois seu preço é, em média, menor!

Resposta

Situação 2.

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