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Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

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Enunciado

Probabilidade Conjunta

Suponha uma variável aleatória contínua X com densidade f x x = x 2 k - 2 x + 1 , com suporte no intervalor [0,2].

  1. Ache a constante “ k ” que faz f x ser uma densidade de probabilidade.
  2. Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada de “ X ”.
  3. Calcule a média e a variância da distribuição de “ X ”.

Passo 1

(a)

Tu tem que tá ligado nisso, provavelmente vai cair algo assim na sua prova!

Pra função ser de densidade a integral dela tem que dar 1.

∫ 0 2 x 2 k - 2 x + 1   d x = 1 k ∫ 0 2 x 2 d x - 2 ∫ 0 2 x   d x + ∫ 0 2 1   d x

= 1 k x 3 3 0 2 - 2 x 2 2 0 2 + x 0 2

= 1 k × 2 3 3 - 2 × 2 2 2 + 2

= 8 3 k - 2

Isso tem que ser igual a 1.

8 3 k - 2 = 1

8 3 k = 3

k = 8 9

A função fica então:

f x = 9 x 2 8 - 2 x + 1

Passo 2

(b)

Pra achar a acumulada é só ir integrando a função de densidade que a gente acabou de achar, em cada intervalo, ( - ∞ , 0 ) , ( 0,2 ) , ( 2 , + ∞ ) . Sendo que o primeiro a integral dará 0, porque a função só está definida no intervalo ( 0,2 ) . E na ultima a integral dará 1, pois a função acumulada sempre termina em 1.

∫ 0 x 9 x 2 8 - 2 x + 1

= 9 8 x 3 3 0 x - 2 x 2 2 0 x + x 0 x

= 9 8 × x 3 3 - 2 × x 2 2 + x

= 3 x 3 8 - x 2 + x

Quando a gente fosse integrar de 2 até mais infinito, teríamos que substituir o valor de x = 2 nessa expressão referente ao intervalo ( 0,2 ) (acumulando..) e somar com a integral de 2 até + ∞ (sendo que essa integral é zero já que a função não está definida nesse intervalo). Aí ficaria..

3 8 . 2 8 - 2 2 + 2 = 3 - 4 + 2 = 1

Como eu já tinha dito, a função acumulada no final resulta em 1.

Passo 3

Finalizando, nossa função acumulada seria:

F x = 0     ,     s e   x < 0 3 x 3 8 - x 2 + x     ,     s e   0 ≤ x ≤ 2 1     ,     s e   x > 2

Passo 4

Calcular média e variância, adivinha? Mais integral!

E X = ∫ 0 2 x . f x   d x = ∫ 0 2 x . 9 x 2 8 - 2 x + 1   d x

= ∫ 0 2 9 x 3 8 - 2 x 2 + x     d x

= 9 8 x 4 4 0 2 - 2 x 3 3 0 2 + x 2 2 0 2

= 9 8 × 2 4 4 - 2 × 2 3 3 + 2 2 2

= 9 × 16 32 - 16 3 + 2

= 144 32 - 16 3 + 2 = 432 - 512 + 192 96

E X = 112 96 = 7 6 = 1,167

E X = 1,167

Passo 5

Pra calcular a variância, primeiro a gente tem que pensar que:

V a r X = E X 2 - E ( X ) ²

E ( X ² ) = ∫ 0 2 x ² . f x   d x = ∫ 0 2 x ² . 9 x 2 8 - 2 x + 1   d x

= ∫ 0 2 9 x 4 8 - 2 x 3 + x ²     d x

= 9 8 x 5 5 0 2 - 2 x 4 4 0 2 + x 3 3 0 2

= 9 8 × 2 5 5 - 2 × 2 4 4 + 2 3 3

= 9 × 32 40 - 8 + 8 3

= 288 40 - 8 + 8 3 = 864 - 960 + 320 120 = 224 120

E X 2 = 224 120 = 56 30 = 28 15

E X 2 = 1,867

Passo 6

Pra finalizar essa parada aí..

V a r X = E X 2 - E X 2

V a r X = 1,867 - 1,167 2

V a r X = 0,505

Resposta

a   k = 8 9

b   F x = 0     ,     s e   x < 0 3 x 3 8 - x 2 + x     ,     s e   0 ≤ x ≤ 2 1     ,     s e   x > 2

c   E X = 1,167     ;     V a r X = 0,505

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