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Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

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Enunciado

Introdução à Variável Aleatória Contínua

Uma variável aleatória X contínua tem a seguinte função de densidade de probabilidade:

f x = 0 ,     p a r a   x < 0   k ,     p a r a   0 ≤ x < 2 k x - 1 ,     p a r a   2 ≤ x < 4 0 ,     p a r a   x > 4

Pede-se:

  1. Qual o valor do parâmetro k ?
  2. Ache a média e a variância de X .

Passo 1

Letra a)

Aqui precisamos lembrar que a integral da função de densidade ao longo de todo seu domínio tem que dar 1, ou seja:

∫ - ∞ + ∞ f x d x = 1

Como a função de densidade do nosso exemplo só tem valor não nulo de 0 até 4 (fora desse intervalo ela vale zero!), nossa integral fica:

∫ 0 4 f x d x

Mas nossa função é quebrada nesse intervalo: assume expressões diferentes dependendo do intervalo que x estiver contido. Então temos que quebrar a integral dela junto e somar as partes. Desse jeitin:

∫ 0 4 f x d x = ∫ 0 2 k d x + ∫ 2 4 k x - 1 d x

Calculando essas duas integrais:

∫ 0 2 k d x + ∫ 2 4 k x - 1 d x = k x 0 2 + k x 2 2 - x 2 4 = 2 k + k 16 2 - 4 - k 4 2 - 2 = 6 k

E como nossa integral tem que valer 1 para ser uma função de densidade:

6 k = 1 → k = 1 6

Passo 2

Letra b)

Lembrando a fórmula da esperança para variável contínua:

E X = ∫ - ∞ + ∞ x . f x d x

Para a nossa função de densidade fica então:

E X = ∫ 0 2 x . k   d x + ∫ 2 4 x . k x - 1 d x → l e m b r a n d o   q u e   k = 1 6

Integral quebrada em duas, pelo mesmo motivo de antes! Substituindo o k aí dentro e rearrumando tudo:

E X = ∫ 0 2 x 6   d x + ∫ 2 4 x ² 6 - x 6 d x

Integrando:

E X = x 2 12 0 2 + x 3 18 - x 2 12 2 4 = 4 12 + 64 18 - 16 12 - 8 18 - 4 12 = 2,44

Passo 3

E agora a variância, que é dada por:

V a r X = ∫ - ∞ + ∞ x 2 . f x d x - E X 2

Calculando essa integral separadamente, já com o valor k substituído na função de densidade:

∫ - ∞ + ∞ x 2 . f x d x = ∫ 0 2 x 2 6   d x + ∫ 2 4 x 2 6 x - 1 d x = ∫ 0 2 x 2 6   d x + ∫ 2 4 x ³ 6 - x 2 6 d x

= x 3 18 0 2 + x 4 24 - x 3 18 2 4 = 8 18 + 256 24 - 64 18 - 16 24 - 8 18 = 7,33

Lembrando que nossa variância é essa integral menos o quadrado da esperança (que já calculamos), ou seja:

V a r X = 7,33 - 2,44 ² = 1,38

Resposta

k = 1 6

E X = 2,44

V a r X = 1,38

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