UNICAMP – Cálculo 3 – 2020.2 – Exame – Exercício 2
Ache a solução geral do seguinte sistema de EDOs usando o método de autovetores e variação de parâmetros. Em seguida, ache a solução do PVI associado com condições iniciais dadas por e .
Passo 1
Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão de EDO!
Temos aqui um sistema de EDOs para resolver. Primeiro vamos escrever esse sistema é notação matricial:
Ou ainda,
Para resolver esse sistema, primeiro consideramos o caso homogêneo (sem o vetor coluna ) e procuramos a solução geral:
Essa solução vamos chamar de . Para fazer isso, temos que encontrar os autovalores e autovetores de .
Os autovalores são achados pela equação característica:
Portanto,
As soluções dessa equação são
A solução geral da equação homogênea é
Nessa última expressão, e são os autovetores da matriz associados aos autovalores e . Já e são as constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 2
Para achar os autovetores, lembramos que
Para :
A solução desse sistema é , de modo que
Já para :
Portanto, :
Desta forma, a solução geral da equação homogênea é
Passo 3
Agora que nós já temos a solução da equação não homogênea, partimos para a solução do problema usando o método de variação de parâmetros.
Como foi apresentado nos resumos do RespondeAí, usando , , e , nós construímos a matriz fundamental:
Daí, encontramos o vetor :
Para inverter usamos a fórmula:
Para , temos
Com isso,
Daí, basta integrar as componentes que temos o vetor .
Passo 4
Para fazer a integral da primeira componente, usamos integração por partes:
Tomando e , temos que
Assim,
Com isso, achamos
Por fim, a solução geral do sistema de EDO é dada por
Fazendo os produtos, achamos
Desta forma, a solução geral do sistema é
Passo 5
Agora vamos procurar e de modo que e :
Somando as equações:
Portanto,
Logo, a solução do PVI é
Com isso finalizamos o problema 😉.