Sistemas EDO – método da eliminação ou método matricial
Dado o sistema:
Encontre a solução geral (real) do sistema linear não-homogêneo utilizando o método da variação dos parâmetros (indicando claramente a matriz fundamental), dado que a solução do homogêneo associado é
Passo 1
Inicialmente, vamos reconhecer as soluções linearmente independentes, isto é:
Fácil, então, ver cada um deles, né?
Passo 2
Próximo passo? Montar a matriz fundamental!
Viu? Simples, né?
Passo 3
Okay, agora vamos pro batente! Vamos usar o método da variação de parâmetros. Para isso, definimos uma função , tal que a solução do sistema seja
onde
Desta forma, nosso problema se restringe a resolver a equação
Passo 4
Beleza, como o problema tem a cara , sabemos que .
Agora, substituindo:
Para a inversa, temos:
Passo 5
Assim, o sistema se torna
Resolvendo :
Resolvendo :
Logo:
Passo 6
Portanto,
Como essa é a solução particular, temos que somar à solução homogênea para obter a solução geral:
Resposta