Questão 1: Encontre a solução geral do sistema não homogêneo
Passo 1
EITA! Queremos resolver aqui não uma equação diferencial, mas sim um sistema de equações diferenciais com duas equações e duas incógnitas! Se lembra de como trabalhamos com isso?
Bem, vou listar uma listinha de passos aqui que podemos sempre seguir:
- Saber bem o que a gente quer e colocar o sistema em notação matricial de sistema de EDO’s normais.
- Resolver a EDO homogênea equivalente.
- Achar a Matriz fundamental .
- Inverter a Matriz fundamental .
- Achar de
- Encontrar a EDO não homogênea fazendo
Muito trabalho pra fazer, neh? Então vamos nessa que os passos vão ficando mais claro ao longo do exercício!
Passo 2
A primeiríssima coisa que devemos fazer é entender o problema! Saber exatamente em que resultado queremos chegar. E isso não é só aqui, na verdade. Em qualquer problema é sempre bom fazermos essa análise! Nesse problema, buscamos a solução do sistema
Onde as “incógnitas” são duas funções: e . (O passo a passo serve justamente para encontrar a expressão delas em função de , saca?).
No caso, vamos condensar esse sistema em notação matricial dessa forma aqui ó:
Onde mais condensadamente ainda podemos escrever:
Onde:
E
Perceba que quem queremos encontrar é justamente o vetor solução que é o . Tenha isso em mente e bora para o próximo passo!
Passo 3
A segunda coisa a se fazer é se resolver a EDO homogênea equivalente!
Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e calcular os autovalores dessa matriz e depois encontrar os autoespaços associados a ().
Passo 4
Encontrando os autovalores:
Podemos fazer isso aplicando a teoria que nos diz que um autovalor pode ser encontrado assim:
Onde...
Como o determinante tem que ser igual a ...
Passo 5
Encontrando os autovetores associados:
Como tivemos dois autovalores reais e diferentes entre si , os nossos autovetores podem ser encontrados assim:
Sendo o o autovetor associado ao autovalor . Vamos falar que ele tem coordenadas:
Para encontrar as coordenadas dele...
Da multiplicação matricial...
Escolhendo ...
Logo, um autovetor associado ao autovalor é:
Calculando o outro autovetor dessa vez associado ao autovalor um pouco mais rápido...
Escolhendo ...
Logo
Passo 6
TÁ! Mas e aí? O que isso tem a ver com o nosso problema? Ainda bem que perguntou! Sabe por quê? Porque agora basicamente temos a solução da homogênea pronta! Pois como os autovalores foram distintos a solução da homogênea é:
Mas assim! Não queremos só a solução da homogênea, neh? E sim queremos a solução geral! Então não vamos parar por aqui e continuar o nosso passo a passo!
Passo 7
O nosso terceiro item do nosso método nos pede para...
- Achar a Matriz fundamental !
Mas para a nossa alegria, esse item está quase completo! Não tem a nossa solução homogênea?
Se chamarmos esse primeiro vetor de e o segundo de , a nossa matriz fundamental fica sendo...
Passo 8
O quarto item nos pede que invertamos a matriz fundamental:
Como ela é uma matriz dois por , sua inversão é bem tranquila: vasta trocar os itens da diagonal principal, e inverter o sinal da diagonal secundária! (não se esqueça de dividir pelo determinante!).
Como
Passo 9
Agora devemos achar de tal forma que
Assim...
Como lá do passo é...
Integrando agora cada membro desse vetor para tirar o ...
Onde e são constantes de integração!
Passo 10
Por último e não morra de tédio... Vamos calcular a resposta do sistema não homogêneo fazendo
Multiplicando corretamente essa matriz por esse vetor...
Simplificando...
Esse é o vetor solução! As soluções são: