1. Encontre a solução do sistema linear homogêneo de e.d.o.’s usando o método de autovalores e autovetores onde
2. Encontre a solução geral do sistema linear não homogêneo( cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros:

Agora, precisamos achar os autovalores, para isso, temos que usar essa fórmula aqui

Esse det é o determinante do resultado daquela continha louca. Vamos começar por ela?

Vamos agora ao determinante

Resolvendo a equação de segundo grau, vamos ter:

Opa, nossos autovalores deram complexos, fica tranquilo que é só usar aquele terceiro caso que vimos na teoria.

Vamos, agora, obter os autovetores correspondentes aos autovalores.

Primeiro, para a o com a subtração:

Temos que fazer a seguinte equação para achar o autovetor:

Para ajudar a nossa continha, vamos fazer

Esse é o autovetor associado a

Voltando para

Colocando o para fora, vamos ter

Podemos então, ignorar esse , já que queremos o autovetor sem a constante.

Separando a parte complexa da parte real, vamos ter

Agora, precisamos olhar para a o com a soma:

Temos que fazer a seguinte equação para achar o autovetor:

Para ajudar a nossa continha, vamos fazer

Esse é o autovetor associado a

Voltando para

Colocando o para fora, vamos ter

Podemos então, ignorar esse , já que queremos o autovetor sem a constante.

Separando a parte complexa da parte real, vamos ter

A solução do sistema linear homogêneo é dada combinando os resultados acima.

Vamos olhar para os autovalores e autovetores juntos:

Isso diz para a gente que:

Lembrando que para o valor de e de , eu ignoro completamente o sinal tanto no autovalor quanto no autovetor.

Desta forma, nossa solução vai ser:

Assim, a nossa solução geral vai ficar:

b)

Vamos utilizar o método da variação de parâmetros agora para encontrar a solução geral do sistema de edos. Montando a matriz fundamental.

Estamos procurando a função tal que.

Lembrando que.

Vamos agora cálculo , para isso, vamos usar um macetinho para fazer inversa de uma matriz

No nosso caso temos:

Vamos começar por aquela fração ali

Colocando o em evidência, vamos ter:

Lembrando que

Vamos ter, para a fração do nosso macete

Então nossa inversa vai ficar:

Vamos agora calcular o :

Integrando cada elemento dessa matriz.

Ficou feio mas é isso ai mesmo.

Vamos para a última parte, achar o

Primeiro, vamos colocar para fora da matriz. Podemos fazer isso porque ele está em todos os elementos da primeira matriz.

Agora tá bem melhor de fazer a conta né?

Repara que podemos cortar alguns carinhas aí

Lembrando que

Vamos ter

E a solução geral será: