Determine a solução do problema de valor inicial definido por , onde:
Passo 1
Vamos resolver o sistema usando o método matricial. Aqui como temos a matriz , temos um caso não homogêneo, mas sem desespero, é tudo muito parecido e só muda o final.
Precisamos encontrar uma solução que terá forma:
Que é a solução homogênea mais a solução particular. A solução homogênea será dada pelo sistema sem a matriz , ou seja:
Vamos resolver essa parte homogênea primeiro.
Usando o método matricial, precisamos encontrar os autovalores associados a matriz . Esses autovalores são dados pela equação:
Logo, temos dois autovalores reais e iguais:
Vamos encontrar agora os autovetores associados.
Passo 2
Para encontrar o primeiro autovetor associado ao autovalor , precisamos resolver o sistema:
Que leva ao sistema:
Repare que a segunda equação é linearmente dependente da primeira, basta multiplicar tudo por . Isso significa que temos uma equação independente para duas variáveis e uma vai depender da outra na solução. Assim, temos que:
Tomando como livre, escolhemos e temos o autovetor:
Show! Agora como o segundo autovalor é igual ao primeiro, para encontrar o autovetor associado, resolvemos a equação:
Com a direta da equação, e não mais o zero! Beleza, então temos:
Que leva ao sistema:
Novamente uma equação dependente da outra, com isso temos:
E, portanto:
Vamos tentar separar de forma que apareça um vetor da forma de :
A parte à esquerda é da forma de então consideramos a parcela à direta e temos:
Agora temos tudo que precisamos para encontrar a solução homogênea
Passo 3
Beleza, agora temos que:
Como :
Como multiplicando
Assim, a solução homogênea será:
Agora vamos encontrar a solução particular!
Passo 4
Para encontrar a solução particular, precisamos dar uma olhada na forma da parcela não homogênea:
Como é da forma uma exponencial , então a solução particular será da forma:
Certo?! Nããããão! Olha lá em cima, aparece na solução homogênea, então teríamos que considerar também na solução particular, mas esse termo também aparece na homogênea, então vamos mais além e consideramos a solução particular na forma:
Beleza? Sempre escolhemos um grau que não apareça na solução homogênea. OK, vamos lá. Se a solução particular é essa, então a derivada vai ser, pela regra da cadeia e produto:
Vamos juntar os termos de mesmo grau, para podermos comparar coeficientes depois:
Para encontrar os valores das constantes, temos que substituir no sistema:
Substituindo, obtemos:
Vamos resolver primeiro:
Temos que:
Portanto:
Quase lá!
Vamos cortar agora e juntar termos de mesmo grau:
Agora comparamos os coeficientes!
Vamos tentar melhorar esse caos aí... Temos aí:
Somando as duas, obtemos:
Além disso:
Opa, achamos uma! Temos também:
Mais uma! Vamos achar o resto? Não dá... As equações são dependentes, como fazer então? Na verdade, não precisamos achar os demais valores, vamos simplesmente escrever o que já encontramos:
E temos que:
Juntando os termos de mesmo grau:
Como é tudo constante, estamos em casa: chamamos:
E temos:
Legal... Acabou? Ainda não! O problema nos deu , isso significa que temos o valor inicial e podemos achar as constantes.
Passo 5
Substituindo:
Logo:
Falou encontrarmos e , mas podemos encontrar usando este resultado e as equações anteriores. Temos que:
Somando as duas:
Mas pelas equações anteriores:
Subtraindo as duas:
Mas por definição:
Então:
Opa! Encontramos um! Vamos tentar achar a outro. Por definição:
Somando com :
Mas pelas equações anteriores:
Logo:
Assim, a solução final será:
