Determine as soluções do seguinte sistema de equações
Passo 1
Vamos lá galera, primeiro, vamos escrever e como e para ficar mais fácil de visualizar. Sempre lembrando que a variável independente é :
Vamos tentar eliminar e suas derivadas da segunda equação. Bem, isolando na primeira, dá para substituir na segunda:
Substituindo na segunda:
Beleza, agora queremos sumir com esse aí. Como fazemos? Repare lá na primeira equação do sistema, que se a gente derivar, vai aparecer em função de e suas derivadas, então vamos derivadas essa equação:
Show! Agora vamos substituir na equação anterior:
Então temos a seguinte EDO:
Nós já aprendemos a resolver essa EDO, né? É uma EDO não homogênea.
Vamos então encontrar a solução homogênea e a solução particular.
Passo 2
Vamos resolver primeiro a EDO homogênea:
A equação característica vai ser:
As raízes são:
Assim, a solução da homogênea é:
Passo 3
Agora vamos encontrar a solução da EDO particular. Para isso, vamos utilizar o método da variação de parâmetros.
Vamos utilizar a base:
O Wronskiano é:
Assim, temos que:
Temos que:
Assim, podemos escrever a solução particular como:
Assim, temos:
Assim, a solução é da forma: