a) Encontre a solução geral do sistema linear homogêneo, usando autovalores e autovetores.
b) Encontre uma solução particular do sistema usando variação de parâmetros e apresente a solução geral
Passo 1
a) Fala aí! Tá bem?
Tem um passo a passo a passo para gente resolver esse sistema pelo método que ele pediu. Só seguir ele direitinho, que dá bom!
Queremos achar uma solução na forma:
Para isso, a gente precisa começar achando os autovalores de , a matriz que aparece ali no sistema:
Vamos usar a equação
Onde é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:
Calculando esse determinante:
Resolvendo essa equação do segundo grau
Passo 2
Como nossos dois autovalores são reais e diferentes, a gente vai ter uma solução da forma:
Onde e são nossos autovetores, que achamos assim:
Bora achar eles!
Passo 3
Vamos começar achando . Substituimos nossos dados na equação
E chamamos . Temos:
Essas duas equações dizem a mesma coisa para a gente:
Aí a gente pode escolher um valor de que facilite a nossa vida, por exemplo, :
Passo 4
Vamos achar . Substituindo nossos dados na equação
E chamando . Temos:
Dessas duas equações só tiramos uma informação também:
Aí a gente pode escolher um valor de que facilite a nossa vida, por exemplo, :
Passo 5
Agora temos tudo para montar nossa solução geral!
Como
Aí nossa solução fica:
Ufa! Deu tudo certo!
Passo 6
b) Queremos a solução particular para o sistema
Percebe que ele tem a mesma matriz do anterior ali, mas ele não é homogêneo. Aí a gente diz que aquele termo ali é
Aí usamos um passo a passo para achar a solução desse sistema não homogêneo, a partir das informações que a gente tem do homogêneo.
Primeira coisa é a montar a matriz fundamental. Ela tem essa carinha:
Como
Vamos seguir!
Passo 7
Pelo método de variação de parâmetros, a solução particular desse sistema vai ser:
onde
E para achar esse , a gente resolve a equação:
Passo 8
Beleza, sabemos que . Agora, substituindo:
Para calcular a inversa, fazemos:
Assim, o sistema se torna
Passo 9
Resolvendo :
Resolvendo :
Aqui a gente vai integrar sem considerar as constantes de integração, tá?
Passo 10
Obtemos:
Portanto,
Passo 11
Combinando as soluções homogênea e particular, temos a solução geral do problema:
Temos
Aí a solução geral fica:
Ufa! Deu bom!
Resposta
a)
b)