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Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

2- Considere o sistema linear não homogêneo

X ' = 3 - 3 2 - 2 X + 4 e t

a) Encontre a solução geral do sistema linear homogêneo associado.

b) Utilize o método de Variação de parâmetros para encontrar uma solução particular do sistema não homogêneo dado.

Passo 1

Bem, esse sistema de EDO comparado com a notação de nossa teoria...

X ' = A X + g t   →

X ' = 3 - 3 2 - 2 X + 4 e t     →

Então...

A = 3 - 3 2 - 2

E

g t = 4 e t

A resolução da homogênea é a resolução do sistema desconsiderando o g t :

X ' = 3 - 3 2 - 2 X

X ' = A X

Bora resolvê-la?

Passo 2

Pelo método matricial primeiro temos que encontrar os autovalores dessa matriz A :

det ⁡ A - λ I = 0     →

det ⁡ 3 - 3 2 - 2 - λ 1 0 0 1 = 0     →

det ⁡ 3 - 3 2 - 2 - λ 0 0 λ = 0     →

det ⁡ 3 - λ - 3 2 - 2 - λ = 0     →

3 - λ - 2 - λ - - 3 ⋅ 2 = 0   →

- 6 - 3 λ + 2 λ + λ 2 + 6 = 0   →

- 6 - λ + λ 2 + 6 = 0   →

λ 2 - λ = 0 →

Logo:

λ λ - 1 = 0   →

λ 1 = 0         e           λ 2 = 1

Passo 3

Agora temos que encontrar os autovetores associados a esses autovalores:

[ v 1 , v 2 ]

De acordo com a nossa linda algebrazinha, o v 1 pode ser encontrado assim:

A - λ 1 I v 1 = 0 →

Como λ 1 = 0 ...

A v 1 = 0   →

Chamando o nosso vetor de v 1 = a b , podemos tirar a e b assim:

3 - 3 2 - 2 a b = 0 0       →

3 a - 3 b = 0 2 a - 2 b = 0   →

Pegando a primeira equação e chamando a de 1 ...

a = 1  

Tiramos o b ...

b = 1

Então, um bom autovetor v 1 é:

v 1 = 1 1

Façamos os mesmo para tirar o v 2 :

A - λ 2 I v 2 = 0 →

3 - 3 2 - 2 - 1 ⋅ 1 0 0 1 v 2 = 0 →

3 - 1 - 3 2 - 2 - 1 v 2 = 0 →

2 - 3 2 - 3 c d = 0 0 →

2 c - 3 d = 0 2 c - 3 d = 0   →

2 c = 3 d     →

Tendo d como 2 , c é…

d = 2   →

c = 3

Logo...

v 2 = 3 2

Passo 4

As soluções parciais tendo esse v 1 e v 2 são:

X 1 = v 1 e λ 1 t = 1 1 e 0 = 1 1

X 2 = v 2 e λ 2 t = 3 2 e t = 3 e t 2 e t

Logo, a solução da homogênea é a combinação dessas duas soluções:

X = c 1 X 1 + c 2 X 2   →

X = c 1 1 1 + c 2 3 e t 2 e t

Passo 5

Para resolvermos a não homogênea por Variação de parâmetros, consideremos lá da teoria o a nossa matriz das soluções fundamentais:

ψ t = X 1 X 2     →

ψ t = 1 1 3 e t 2 e t  

A solução da homogênea é então dado por:

X t = ψ t ⋅ u t

Onde:

u t = u 1 t u 2 t

u ' t = ψ t - 1 ⋅ g t

Passo 6

Vemos então que primeiro devemos inverter aquela matriz 2 x 2 :

ψ t - 1 = 1 1 3 e t 2 e t   - 1 = 1 det ⁡ 1 1 3 e t 2 e t ⋅ 2 e t - 1 - 3 e t 1

Onde:

det ⁡ 1 1 3 e t 2 e t = 2 e t - 3 e t = - e t

Logo...

ψ t - 1 = 1 - e t ⋅ 2 e t - 1 - 3 e t 1 = - 2 e t e t 1 e t 3 e t e t - 1 e t   →

ψ t - 1 = - 2 1 e t 3 - 1 e t   →

Multiplicando essa inversa pelo vetor g t da não homogênea que vimos lá no passo 1 ...

u ' t = ψ t - 1 ⋅ g t   →

u ' t = - 2 1 e t 3 - 1 e t ⋅ 4 e t     →

u ' t = - 2 ⋅ 4 + 3 e t 4 e t - e t e t →

u ' t = 3 e t - 8 4 e - t - 1

Agora basta integrarmos...

u t = ∫ 3 e t - 8   d t ∫ 4 e - t - 1   d t = 3 e t - 8 t + c 1 - 4 e - t - t + c 2

Logo, a solução será:

X t = ψ t ⋅ u t   →

X t = 1 1 3 e t 2 e t ⋅ 3 e t - 8 t + c 1 - 4 e - t - t + c 2     →

Multiplicando...

X t = 3 e t - 8 t + c 1 + 3 e t - 4 e - t - t + c 2 3 e t - 8 t + c 1 + 2 e t - 4 e - t - t + c 2     →

X t = 3 e t - 8 t + c 1 - 12 - 3 t e t + 3 c 2 e t 3 e t - 8 t + c 1 - 8 - 2 t e t + 2 c 2 e t     →

E simplificando, temos:

X t = e t 3 + 3 c 2 - 3 t e t - 8 t + ( c 1 - 12 ) e t 3 + 2 c 2 - 2 t e t - 8 t + ( c 1 - 8 )  

Resposta

Letra A:

X = c 1 1 1 + c 2 3 e t 2 e t

Letra B:

X t = e t 3 + 3 c 2 - 3 t e t - 8 t + ( c 1 - 12 ) e t 3 + 2 c 2 - 2 t e t - 8 t + ( c 1 - 8 )