Determine a solução do problema de valor inicial definido por , onde:
Passo 1
Vamos resolver o sistema usando o método matricial. Aqui como temos a matriz não nula, temos um caso não homogêneo então precisamos encontrar uma solução que terá forma:
Que é a solução homogênea mais a solução particular. Vamos resolver essa parte homogênea primeiro.
Usando o método matricial, precisamos encontrar os autovalores associados a matriz . Esses autovalores são dados pela equação:
Logo, temos dois autovalores reais e distintos:
Na verdade, nem precisamos calcular tudo isso, uma vez que a matriz é diagonal, então os autovalores são dados pelos componentes desta diagonal, mas fizemos a conta para poder usar o passo-a-passo em todos os problemas ;)
Vamos encontrar agora os autovetores associados.
Passo 2
Para encontrar o primeiro autovetor associado ao autovalor , precisamos resolver o sistema:
Que leva a:
Com livre. Escolhendo , temos o autovetor:
Legal, encontramos um autovetor, vamos encontrar o outro. Para isso, resolvemos o sistema:
Que nos leva a:
Com livre. Escolhendo , temos o autovetor:
Boa, agora já temos tudo que precisamos para encontrar a solução homogênea.
Passo 3
Beleza, agora temos que:
Assim, a solução homogênea será da forma:
Vamos olhar para a solução particular agora.
Passo 4
A solução particular tem que ser da forma do vetor que é:
Ou seja, temos um polinômio de grau um e uma exponencial, então a solução particular será da forma:
Como nenhuma parcela aparece na solução homogênea, não precisamos nos preocupar em modificar nada na particular. Vamos substituir em:
Para isso, calculamos . Derivando , temos:
Logo:
Vamos deixar as incógnitas de um lado e os números de outro e juntar os termos de mesmo grau e exponenciais para poder comparar tudo:
Comparando os coeficientes temos:
O sistema é grande, mas vamos resolver rapidamente. Indo da esquerda para a direita, de cima para baixo, temos de cara:
Substituindo na seguinte pela ordem que definimos:
Seguindo:
Substituindo na seguinte:
Portanto, encontramos tudo que queríamos e temos:
Quase lá!
Passo 5
A solução geral então será:
Acabou? Não. O problema também nos deu , então temos um problema de valor inicial, e podemos achar os valores de e . Pelo valor dado:
Substituindo na solução geral com :
Assim:
Logo:
Ou seja, a solução final será:
Pronto!