- Encontre a solução do sistema linear homogêneo de e.d.o.’s usando o método de autovalores e autovetores onde
- Encontre a solução geral do sistema linear não homogêneo( cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros:
Passo 1
a)
Inicialmente, vamos observar que temos um sistema linear homogêneo de e.d.o.’s com coeficientes constantes. Por isso, podemos escrevê-lo na seguinte forma matricial:
Onde é um vetor de duas coordenadas , é sua derivada e, claro, .
Passo 2
Para achar os autovalores, basta fazermos :
Resolvendo a equação de segundo grau:
Passo 3
Vamos, agora, obter os autovetores correspondentes aos autovalores.
- Para :
- Para :
A equação do autovetor diz que . Então vamos fazer assim, vamos chamar de o autovetor associado ao autovalor .
Assim, as equações são redundantes. Uma possível solução é e :
O procedimento é semelhante:
E, assim, obtemos e :
Note que é de fato o conjugado de .
Passo 4
A solução do sistema linear homogêneo é dada combinando os resultados acima. Vamos olhar para os autovalores e autovetores juntos:
Desta forma, teremos:
Passo 5
E, combinando as respostas:
Passo 6
b)
Vamos utilizar o método da variação de parâmetros agora para encontrar a solução geral do sistema de edos. Montando a matriz fundamental.
Estamos procurando a função tal que.
Lembrando que.
Passo 7
Lembrando da formula para m=calcular a inversa de uma matriz quadrada.
Calculando
Colocando em evidencia na matriz.
Passo 8
Calculando
Integrando cada elemento dessa matriz.
Ficou feio mas é isso ai mesmo.
Passo 9
Calculando
Resposta
a)
b)