Sistemas EDO – método da eliminação ou método matricial
Encontre a solução geral do sistema linear não-homogêneo utilizando o método da variação de parâmetros:
Passo 1
Primeiramente, vamos identificar os termos do sistema de edo’s :
Assim, começamos pelo sistema homogêneo, encontrando os autovalores e autovetores de :
Portanto:
Passo 2
Vamos, agora, obter os autovetores correspondentes aos autovalores.
- Para :
- Para :
A equação do autovetor diz que . Então vamos fazer assim, vamos chamar de o autovetor associado ao autovalor .
Isso nos dá que . Então, com , por exemplo, temos:
Passo 3
O procedimento é semelhante:
E, assim, obtemos que . Logo,
Passo 3
O conjunto fundamental de soluções, então, é dado por:
Passo 4
Para acharmos a solução geral do problema, vamos usar o método da variação de parâmetros. Para isso, definimos uma função , tal que a solução do sistema seja
onde
Desta forma, nosso problema se restringe a resolver a equação
Passo 5
Beleza, mas quem é a matriz fundamental ? Fácil, olha ela aí!
Substituindo e , obtemos:
Passo 6
Para a inversa, temos:
Assim, o sistema se torna
Passo 7
Resolvendo e :
Logo:
Passo 8
Portanto,
Resposta