Sistemas EDO – método da eliminação ou método matricial
Dado que
são soluções do sistema homogêneo
no intervalo , calcule a solução (dê a solução geral) do sistema não-homogêneo
usando o método de variação dos parâmetros para sistemas.
Passo 1
O primeiro passo é verificar se as soluções são linearmente independentes.
Para isso, vamos montar a matriz fundamental!
Assim, verificamos que
Como , as soluções formam um conjunto fundamental de soluções (no intervalo ).
Passo 2
Assim sendo, a solução geral do sistema homogêneo é dada por
Passo 3
Já uma solução particular, podemos obtê-la pelo método da variação de parâmetros para sistemas. Seja
onde
Desta forma, nosso problema se restringe a resolver a equação
Passo 4
Beleza, sabemos que . Agora, substituindo:
Para a inversa, temos:
Passo 5
Assim, o sistema se torna
Passo 6
Resolvendo :
A primeira é fácil,
Mas a segunda dá trabalho... vamos aplicar integração por partes.
Sejam e , então e . Substituindo:
Logo:
Passo 7
Resolvendo :
Passo 8
Tomando as constantes de integração , obtemos:
Portanto,
Passo 9
Combinando as soluções homogênea e particular, temos a solução geral do problema:
Resposta