UNICAMP - (Cálculo 3) - P2 2020.1
Considere o sistema linear não homogêneo abaixo:
- Usando o método de autovalores e autovetores, encontre a solução complementar, , do sistema linear indicando claramente quem é a matriz fundamental e quem é o vetor . (Não é necessário realizar a multiplicação )
- Utilizando o método da variação de parâmetros, encontre a solução particular, , do sistema linear não-homogêneo indicando claramente quem é o vetor e como é obtido. (Não é necessário realizar a multiplicação )
Passo 1
Vamo que vamo galera! Pra começar, a questão pede a solução complementar. Oras! Isso nada mais é do que a solução do sistema desconsiderando o vetor mais a direita. Ou seja, queremos resolver o sistema de EDOs homogêneo associado:
Em EDO’s desse tipo, sempre vamos ter uma solução com essa cara:
Colocando isso com a cara que o enunciado pediu, é como se tivéssemos uma matriz onde e fossem colunas dela. Essa que é a tal da matriz fundamental!
Então uma outra forma de escrever a solução para esse sistema é:
Onde é um vetor pra considerar aqueles coeficientes lá em cima, ok? Bom, identificamos quem é quem e isso era parte do enunciado hahaha mas vamos as contas mesmo agora, ok?
Passo 2
Show, precisamos usar o método de autovalores e autovetores! Então bora lá! Pra isso, seja a matriz , fazemos:
Calculando nossa linda determinante, chegamos em:
O que nada mais é do que um trinômio quadrado perfeito de ! Ficamos com:
Autovalores encontrados. Nesse caso em específico, temos dois valores reais iguais, de forma que a solução final vai ter:
Onde são nossos autovetores associados. Bora achar eles então! O primeiro a gente encontra fazendo:
Encontrando então:
E galera, isso aí é o equivalente a um sistema:
Que basicamente só nos diz que:
Tudo que sabemos sobre até então é que:
Como no final das contas é só uma constante, não precisamos nos preocupar com ela, de forma que é o nosso vetor final, belezinha galera? Show, agora, pra achar , fazemos:
Então sendo , temos:
O que é equivalente a um sistema com essa cara:
De onde tiramos que:
E logo, o vetor será:
E olha só o que aconteceu! O vetor apareceu dentro da definição do . Podemos ignorar então esse pedacinho e nos preocupar somente com:
Autovetores encontrados! As soluções serão:
O que é o mesmo que:
E tai! Fechamos a matriz fundamental:
Passo 3
Agora chegou o momento em que de fato vamos resolver:
Pra isso, o primeiro passo é resolver o homogêneo associado, que já fizemos. O segundo é usar o método da variação de parâmetros. Pra isso, tendo:
Falta só a gente identificar o vetor . Segundo o método da variação dos parâmetros, temos:
A primeira coisa a se fazer então é inverter a matriz fundamental! Para uma matriz qualquer, a inversa é encontrada fazendo:
Comparando isso com:
Temos:
De forma que a inversa fica bonitinha dessa forma:
A gente pode simplificar isso ainda mais, saca só:
O que nos deixa com:
Realizando a multiplicação matriz-vetor, temos:
Ok, quase lá galera! Calma que falta MUITO POUCO. Olha só, achamos a derivada do vetor . Portanto, se:
Basta a gente integrar para achar :
No nosso caso, temos:
O vetor vai ser então:
Ufa, acabamos!
Resposta
Identificamos a Matriz Fundamental como:
O vetor como um vetor de constantes indeterminadas:
E o vetor como sendo:
Dessa forma a solução complementar tem a cara:
E a solução particular tem a cara: