Para o seguinte sistema linear homogêneo de EDO’s:
Prove que o autovalor é com multiplicidade dois.
Encontre a solução geral do sistema linear homogêneo de EDO’s.
Encontre a solução geral do sistema linear não-homogêneo utilizando o método de variação de parâmetros (indicando claramente a matriz fundamental). Note que o sistema homogêneo associado está descrito acima na parte desta questão.
A resposta (solução) pode ser dada em termos da matriz fundamental, ou seja, na sua resposta não precisa fazer a multiplicação da matriz fundamental pela função vetorial que você deve determinar.
Passo 1
Primeiramente, vamos calcular os autovalores desse sistema. Identificando a matriz :
Agora, para calcular os autovalores, precisamos que
Como tínhamos um polinômio do segundo grau, precisamos de duas raízes. Tendo em vista que , tem-se uma raiz com multiplicidade dois.
Passo 2
Bom, já calculamos os autovalores, então agora precisamos encontrar os autovetores. Lembra deles? Satisfazem a seguinte equação:
No nosso caso,
Assim, podemos adotar
Precisamos encontrar um outro autovetor, mas perceba que se usássemos a fórmula mais acima, não daria certo porque cairíamos no mesmo vetor de novo. Toda vez que isso acontecer, você usará a seguinte fórmula:
Fazendo isso
Sendo assim, podemos adotar
Passo 3
Sabendo que:
Temos que e , já que encontramos uma raiz com multiplicidade dois.
Passo 4
Show! Feito tudo isso, agora precisamos resolver o sistema não homogêneo:
A solução é do tipo:
A matriz fundamental será uma parte da solução homogênea, excluindo as constantes:
Portanto, nossa solução particular
Queremos esse , tal que:
Chegando a essa equação, ficamos com o seguinte:
Somando a primeira equação com a segunda, temos:
Substituindo essa na segunda equação, encontraremos finalmente o :
Passo 5
Tendo calculado e , encontramos o vetor , que nos permitirá calcular :
AEEEEEE, agora a resposta final!
Resposta