UFRJ, P3-2019.1
Calcule a equação da reta que melhor aproxima os pontos pelo método dos mínimos quadrados:
Passo 1
Belejóia galerinha a equação geral da reta é dada por:
E queremos aproximar os pontos do tipo , tais que:
Ou seja, podemos montar um sisteminha desse jeito:
E se a gente pegar a primeira linha vamos ter que:
E jogando esse resultado na segunda linha:
MAAASSS, se a gente jogar na terceira linha, vamos ter:
Então isso quer dizer que nosso sistema NÃO TEM SOLUÇÃO!!! Maass para a Álgebra iss não basta, se o sistema não tem solução a gente faz ele ter, e pra isso temos o Método dos Mínimos Quadrados.
Passo 2
Se a gente montasse uma matriz com o sistema:
Teríamos:
Belezoca e agora que a mágica acontece, por que o método do mínimos quadrados diz que dado um sistema sem solução:
Podemos aproximar uma solução tal que:
Então aplicando isso no nosso sistema , temos que:
Resolvendo essas multiplicações, temos:
Portanto, se a gente aplicar a matriz inversa de , dos dois lados, vamos ter:
E aplicando o algoritmo da inversa, descobrimos que:
Logo:
Passo 3
Portanto, a solução particular do nosso sistema é:
Onde e , logo:
Resposta cera, letra (a).
Resposta
Letra (a).