UFRJ, P3-2019.1
Uma empresa de filmes pela Internet registra índices de aceitação de cada cliente, com valores de a , para os tipos: comédia, ação e drama, e para tal guarda para cada cliente o vetor . Os dados dos primeiros clientes são: e . Expresse como uma combinação linear de e e estime, pelo método dos Mínimos Quadrados, o índice de um quarto cliente, cujos gostos pelos filmes de ação e dramas são indicados por e :
- aproxidamente, .
- aproxidamente, .
- aproxidamente, .
- aproxidamente, .
Passo 1
Belezoca galerinha, temos que representa o índice de aceitação em cada estilo de filme, o enunciado disse pra gente é uma combinação linear de e , logo:
Onde são os coeficientes da combinação linear. Sabendo disso, o enunciado forneceu pra gente a avaliação de clientes, dadas por e , e pediu pra estimar o índice de um quarto cliente, se e . Se a gente tentar encontrar os coeficientes e na força do ódio, teríamos as seguintes equações:
Juntando tudo:
Da primeira linha tiramos que , e substituindo nas equações de baixo, temos que:
E DESCOBRIMOS QUE E , AO MESMO TEMPO!!!! Isso quer dizer que o sistema não possui solução. Mas isso não basta pra Álgebra Linear, se a solução não existe, a gente vai lá e faz ela existir, e justamente por isso criamos o método dos mínimos quadrados, pra aproximar uma solução em casos extremos como esse.
Passo 2
Show de bola então galerinha, o método dos mínimos quadrados diz pra gente que dado um sistema sem solução
Podemos aplicar a transposta dos dois lados em um vetor particular , desse jeito:
Esse novo sistema vai possibilitar uma solução particular , e dado esse resultado, a solução inicial será a aproximação :
Iradoso, agora que a gente sabe como que aplica o método, vamos levar ele pra dentro do nosso exercício. O sistema que a gente descobriu no Passo 1, foi:
E passando ele pra forma de matriz, temos que:
Ou melhor, expressando como um produto de matrizes, temos:
Dessa forma nossa matriz e o vetor são:
Passo 3
Xuxu beleza, colocando essas informações do Passo 2, dentro do método, temos que:
Vamos chamar , logo:
Resolvendo esse produto de matrizes, temos que:
E agora sim, esse sistema vai possibilitar pra gente uma solução. Escalonando o sistema, temos:
Então na primeira linha tiramos que:
Logo:
E substituindo esse resultado na segunda linha, temos:
Logo:
Passo 4
Então voltando para a questão inicial sobre o índice dos filmes, tínhamos que o índice era:
E como acabamos de descobrir, e , então:
E se e , temos que:
Resposta certa, letra (d).
Resposta
Letra (d).