Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

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Enunciado

Uma empresa de filmes pela internet registra índices de aceitação de cada cliente, com valores de 0 a 3, para os tipos: comédia, ação e drama, e para tal guarda para cada cliente o vetor ( k c ,   k a ,   k d ) . Os dados dos 3 primeiros clientes são: 2 ,   1 ,   0 , ( 1 ,   2 ,   1 ) e ( 1 ,   1 ,   3 ) . Expresse k c como uma combinação linear de k a e k d e estime, pelo método dos Mínimos Quadrados, o índice k c de um quarto cliente, cujos gostos pelos filmes de ação e dramas são indicados por k a = 2 e k d = 3 .

a) k c = 57 23 , aproximadamente, k c ≈ 2.5

b) k c = 24 11 , aproximadamente, k c ≈ 2.2

c) k c = 8 14 , aproximadamente, k c ≈ 0.7

d) k c = 57 35 , aproximadamente, k c ≈ 1.6

e) Não sei.

Passo 1

Vamo lá, o enunciado fala pra gente que k c é combinação linear de k a e k d , então:

k c = s . k a + t . k d

Então, aplicando isso em cada um vetores dados, temos

2 = s . 1 + t . 0 1 = s . 2 + t . 1 1 = s . 1 + t . 3

Opa, esse sistema é impossível, então bora resolver pelo método dos mínimos quadrados beleza??

Passo 2

A forma matricial do nosso sistema é

1 0 2 1 1 3 . s t = 2 1 1

Que está na forma A x = b .

Aplicando a fórmula dos mínimos quadrados:

A T A x - = A T b

1 2 1 0 1 3 1 0 2 1 1 3 x - = 1 2 1 0 1 3 2 1 1

Multiplicando as matrizes, temos:

6 5 5 10 x - = 5 4

Sabendo que x - = s ' t ' :

6 5 5 10 s ' t ' = 5 4

Isso nos leva ao sistema

6 s ' + 5 t ' = 5 5 s ' + 10 t ' = 4

Resolvendo esse sistema, temos

s ' = 6 7

t ' = - 1 35

Então, nossa combinação linear pode ser dada por

k c = 6 7 . k a - 1 35 . k d

Passo 3

Mas o enunciado quer saber o valor de k c quando k a = 2 e k d = 3 , então vamos substituir na expressão que achamos :D

k c = 6 7 . 2 - 1 35 . 3

k c = 12 7 - 3 35

Fazendo o MMC:

k c = 60 - 3 35 = 57 35

Ou seeeja, nossa alternativa correta é a letra D :)

Resposta

d) k c = 57 35 , aproximadamente, k c ≈ 1.6

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