Considere as afirmações abaixo:
(I) Considere um sistema linear que não admite solução e seja a matriz aumentada desse sistema. Então
(II) Se o sistema tem solução única, então A é injetiva.
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Passo 1
(I) Seja um sistema sem solução.
Isso significa que b não pertence à imagem de A, logo b não é gerado pelas colunas de A e b não é CL das colunas de A.
Agora vamos considerar a matriz aumentada .
Então , pois além de ter o espaço gerado pelas colunas de A, a imagem de B tem o espaço gerado pelo vetorzinho b, já que ele é LI com as colunas de A.
Por isso a afirmação (I) é falsa.
Passo 2
(II) Se tem solução única, então só tem um elemento do domínio capaz de gerar esse vetor.
Isso significa que:
E essa é a definição de injetividade!
Logo, se isso acontece, a matriz A é injetiva.
Resposta
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.