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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P4 – 2017.2, Questão 15

Seja A   4 × 4 tal que N A - I = 2,0 , 1,0 , ( 0,3 , 0,2 ) e N A + I = 5,0 , 3,0 , ( 0,4 , 0,3 ) . As entradas da diagonal de A , a 11 ,   a 22 ,   a 33 e a 44 , são:

(a) 7 ,   10 ,   - 7 ,   e - 10

(b)   11 ,   17 ,   - 11 e - 17

(c) 5 ,   8 ,   - 5 e - 8

(d)   3 ,   3 ,   2 e 3

Passo 1

Nossa matriz A vai ser:

a 11 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44

Então A - I   e A + I vão ser:

A - I = a 11 - 1 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 - 1 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 - 1 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44 - 1

A + I = a 11 + 1 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 + 1 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 + 1 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44 + 1

Passo 2

Como o N A - I = 2,0 , 1,0 , ( 0,3 , 0,2 ) , podemos aplicar na matriz:

a 11 - 1 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 - 1 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 - 1 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44 - 1 2 0 1 0 = 0 0 0 0

2 a 11 - 1 + a 13 = 0 2 a 2 1 + a 23 = 0 2 a 31 + a 33 - 1 = 0 2 a 41 + a 43 = 0

a 11 - 1 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 - 1 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 - 1 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44 - 1 0 3 0 2 = 0 0 0 0

3 a 12 + 2 a 14 = 0 3 ( a 22 - 1 ) + 2 a 24 = 0 3 a 32 + 2 a 34 = 0 3 a 42 + 2 ( a 44 - 1 ) = 0

Agora vamos fazer o mesmo para N A + I = 5,0 , 3,0 , 0,4 , 0,3 :

a 11 + 1 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 + 1 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 + 1 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44 + 1 5 0 3 0 = 0 0 0 0

5 a 11 + 1 + 3 a 13 = 0 5 a 21 + 3 a 23 = 0 5 a 31 + 3 a 33 + 1 = 0 5 a 41 + 3 a 43 = 0

a 11 + 1 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 + 1 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 + 1 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44 + 1 0 4 0 3 = 0 0 0 0

4 a 12 + 3 a 14 = 0 4 ( a 22 + 1 ) + 3 a 24 = 0 4 a 32 + 3 a 34 = 0 4 a 42 + 3 ( a 44 - 1 ) = 0

Passo 3

Como só queremos os elementos da diagonal, vou separar as equações que tem eles:

2 a 11 - 1 + a 13 = 0 2 a 31 + a 33 - 1 = 0

3 a 22 - 1 + 2 a 24 = 0 3 a 42 + 2 ( a 44 - 1 ) = 0

5 a 11 + 1 + 3 a 13 = 0 5 a 31 + 3 a 33 + 1 = 0

4 a 22 + 1 + 3 a 24 = 0 4 a 42 + 3 ( a 44 - 1 ) = 0

Agora vou agrupar as equações que tem as mesmas variáveis:

2 a 11 - 1 + a 13 = 0 5 a 11 + 1 + 3 a 13 = 0

3 a 22 - 1 + 2 a 24 = 0 4 a 22 + 1 + 3 a 24 = 0

2 a 31 + a 33 - 1 = 0 5 a 31 + 3 a 33 + 1 = 0

3 a 42 + 2 ( a 44 - 1 ) = 0 4 a 42 + 3 ( a 44 - 1 ) = 0

Passo 4

Agora, resolvendo esses sistemas:

2 a 11 - 1 + a 13 = 0   ( I ) 5 a 11 + 1 + 3 a 13 = 0   ( I I )

Fazendo I I - 3 ( I ) , encontramos:

5 a 11 + 1 - 6 a 11 - 1 = 0

- a 11 + 11 = 0

a 11 = 11

Olhando as alternativas, vemos que nem precisamos calcular os outros sistemas pois a única que tem a 11 = 11 é a letra b).

Resposta

b

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