UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2017.2, Questão 14
Seja uma matriz :
Se é injetiva, então é injetiva
Se é injetiva, então é injetiva
(a) é verdadeira e é falsa
(b) Ambas são falsas
(c) Ambas dão verdadeiras
(d) é falsa e é verdadeira
Passo 1
Se essa matriz:
Sendo , vamos ficar com uma combinação linear:
Mas como é injetiva, o único vetor solução desse sistema homogêneo é o vetor nulo! Então , ou seja, todos os coeficientes são nulos.
Isso acontece quando temos uma combinação linear de vetores dando o vetor nulo.
Assim, provamos que nossas colunas são
Passo 2
Agora vamos ver nossa
E nossa vai ser:
Se essa matriz for injetiva, vamos ter as colunas Então:
Pela linearidade, isso é o mesmo que:
Opa, preciso que essa combinação linear seja ortogonal a todos os vetores das colunas! Isso só vai acontecer se , mas, vimos no passo 1 que quando isso acontece,
Assim, provamos que essa afirmativa é verdadeira, é injetiva pois suas colunas são
Passo 3
Vamos para a afirmativa ! Se tenho é injetiva, vai ser injetiva?
Bom, se você reparar na demonstração da afirmativa , vai ver que aa recíproca é verdadeira. Ou seja, por ser injetiva, posso afirmar que é injetiva.
Vimos que para ser injetiva, as colunas da matriz devem ser Assim, se é injetiva, temos colunas
Vamos ter linhas já que o número de linhas e colunas é o mesmo. Se , vamos ter linhas
Então , cujas colunas são as linhas de não vai ser injetiva! Pois vimos que vai ter colunas quando foir maior que
Só vai ser verdadeiro se
Resposta
a