Seja uma matriz com linhas e colunas. Determine se é verdadeiro ou falso:
- Se , então as colunas são
- Se , então o núcleo de contém uma reta.
- Se é injetiva e é a sua forma escalonada, então é injetiva.
Passo 1
Letra a)
Basta arrumar um contra-exemplo. Sei que isso normalmente é a parte difícil, mas tenta chutar a matriz mais simples possível satisfazendo as condições do enunciado.
Nesse caso, temos que o número de linhas é maior que o de colunas certo? Mas as colunas são iguais! Logo o conjunto é . Falso
Letra b)
Lembra que na teoria vimos que para uma matriz ser injetiva (), o número de linhas tem que ser maior ou igual ao número de colunas!
E nesse caso ele diz que o número de linhas é menor que o número de colunas! Nesse caso, a matriz não é injetiva e seu núcleo terá dimensão maior ou igual a . Então ele sempre vai conter uma reta. Verdadeira.
Passo 2
Letra c)
Se é injetiva, quer dizer que . Então a solução do sistema é a trivial. Como a a forma escalonada de , então são matrizes equivalente e, por isso, a solução dos sistemas lineares são equivalentes! Logo se possui somente a solução trivial, então também possui!! Portanto, e é injetiva. Verdadeiro
Resposta
- Falso
- Verdadeiro
- Verdadeiro