Sejam A e B matrizes tais que o produto AB está definido. Considere as afirmações:
(I) Se , então é subespaço de .
(II) contém .
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Passo 1
(I) Se então significa que a matriz B zera a matriz A.
Lembra que o núcleo de uma matriz são os caras que levam ela no vetor nulo??
Então se B faz isso, B pertence ao núcleo de A.
Melhor ainda, o espaço gerado pelas colunas de B (imagem) está no núcleo de A e é subespaço dele.
A afirmação I é verdadeira.
Passo 2
(II) O núcleo de AB são os vetores tais que .
Repara que:
Se eu pego os caras tais que (que são os vetores que estão no núcleo de B) e multiplico por A eu vou obter o vetor 0:
Mas os vetores que zeram B são os vetores do núcleo de B, né?
Então a afirmação II também é verdadeira, e o núcleo de B está dentro do núcleo de A.
Resposta
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.