Qual dos vetores abaixo pode ser acrescentado ao conjunto para se obter uma base do núcleo da matriz 
?
(a) Nenhum vetor, já é base.
(b) (2,1,0,1)
(c) (1,0,1,0)
(d) (1,2,1,0)
Passo 1
Vamos começar achando uma base pro núcleo da matriz dada.
Lembra que o núcleo é a solução do sistema homogêneo.
Vamos montar esse sistema:
A segunda equação é -1 vezes a primeira, então na verdade só temos uma equação pros vetores do núcleo:
Então os vetores do núcleo são:
Como esses três vetores são linearmente independentes e todo vetor do núcleo se escreve como combinação linear deles, então eles formam uma base pro núcleo!
Temos então:
E no conjunto dado só temos dois vetores, então esse conjunto tem dimensão 2.
Logo, pra ser base do núcleo, vamos ter que acrescentar um vetor ao conjunto.
Aí já eliminamos o item (a), que diz que é base.
Passo 2
Bom, vimos que os vetores do núcleo satisfazem a equação
Então vamos substituir as coordenadas dos vetores das alternativas e ver qual deles obedece a essa equação, pois aí vamos ter um vetor do núcleo.
(b) (2,1,0,1)
(c) (1,0,1,0)
(d) (1,2,1,0)
Então temos dois vetores candidatos à base do núcleo: e .
Passo 3
Pra saber qual vetor vamos escolher, temos que lembrar que se queremos uma base, os vetores têm que ser LI.
Então vamos colocar os dois vetores que já estão em nas linhas de uma matriz, colocar também os vetores candidatos nas linhas e escalonar.
A linha que zerar vai ser LD e não vamos colocar o vetor que estava nela pra ser vetor da base!
A 4ª linha zerou, então o vetor que estava lá é CL dos outros.
Então finalmente um vetor pra base do núcleo vai ser o vetor da terceira linha, (2,1,0,1).
Resposta
(b) (2,1,0,1)