Seja A uma matriz . Considere as afirmações:
(I) Se então A é necessariamente injetiva.
(II) Se A é injetiva, então .
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Passo 1
(I) Sabemos que se o núcleo de A é trivial, então A é injetiva.
E o núcleo de uma matriz é a solução do sistema homogêneo.
Então se , vamos ter mais equações que incógnitas.
Nesse caso, pode ser que só tenhamos a solução trivial, mas não necessariamente isso acontece, pois também podemos ter a solução trivial mais infinitas soluções.
Então a afirmação (I) é falsa, pois ela diz que se então A é necessariamente injetiva (tem núcleo trivial), mas isso pode não ser verdade.
Passo 2
(II) Com o que vimos na afirmação (I), temos então que uma matriz só pode ser injetiva se .
Mas isso não necessariamente vai ser verdade, ou seja, toda matriz injetiva obedece mas nem toda matriz que obedece é injetiva.
Por isso a afirmação (II) é verdadeira.
Resposta
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.