Considere as seguintes afirmações:
Sejam e matrizes tal que o produto está definido. Se é injetiva, então a dimensão do núcleo de é zero.
Sejam e matrizes tal que o produto está definido. Se é injetiva, então as colunas de são linearmente independentes.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.
A afirmativa é verdadeira e é falsa.
A afirmativa é falsa e é falsa.
A afirmativa é falsa e é verdadeira.
Passo 1
Uma coisa interessante dessa questão é que ambas as afirmações estão falando a mesma coisa de um jeito diferente!! As duas dizem, em outras palavras, que se é injetiva, então também é injetiva! O que quer dizer que a dimensão do núcleo de é zero e que as colunas de são linearmente independentes!
Então na real é só verificar se injetiva implica em injetiva. Bom, imagine que não fosse injetiva. Nesse caso teríamos um vetor , de forma que:
Então teríamos:
Logo, também pertenceria ao núcleo de ! Ou seja, se não for injetiva não tem como ser injetiva! Logo, se é injetiva, então é injetiva. Ambas são verdadeiras.
Resposta
Letra