Exercícios Resolvidos de Núcleo e Injetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A = 1 0 - 1 2 - 3 1 4 - 4 2 - 3 - 5 - 1 .

Então a dimensão do núcleo de A é igual a:

a 1

b 2

c 0

d 3

Passo 1

Vamos pegar o sistema homogêneo e escalonar.

1 0 - 1 2 - 3 1 4 - 4 2 - 3 - 5 - 1 0 0 0 → L 2 ← L 2 + 3 L 1 L 3 ← L 3 - 2 L 1

1 0 - 1 2 0 1 1 2 0 - 3 - 3 - 5 0 0 0 → L 3 ← L 3 + 3 L 2

1 0 - 1 2 0 1 1 2 0 0 0 1 0 0 0

Beleza, são todas L I . Isso quer dizer que temos 3 equações e 4 variáveis. Como temos 1 variável livre, a dimensão do núcleo é 1 .

Resposta

Letra ( a )

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Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = x 1 + 2 x 2
Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 8 x 1 + 4 x
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma dilatação de fator k0 emR 3 .
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma contração de fator k0 em R 2 .
Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.A reflexão no eixo x em R 2