Seja A uma matriz tal que o vetor nulo pode ser expresso como combinação linear não trivial de suas colunas. Verifique as afirmativas abaixo:

I - O núcleo de é um conjunto infinito

II - Uma das colunas de é gerada pelas demais

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) Ambas são verdadeiras

(c) Ambas são falsas

(d) I é falsa e II é verdadeira

Agora vamos tentar escrever matematicamente o que o enunciado disse pra gente:

Primeiro ele disse que o vetor nulo pode ser expresso como combinação linear não trivial das colunas. Então:

Em que os coeficientes podem não ser todos iguais a zero.

Isso lembra alguma coisa a vocês?

A definição de dependência linear!! Só pra lembrar: quando o único jeito de gerar o vetor nulo a partir de uma dos vetores for com todos os coeficientes iguais a zero, o conjunto é

Beleza então como o enunciado tá falando exatamente o contrário disso, podemos concluir que o conjunto é .

Vamos para as afirmativas agora:

I - O núcleo de é um conjunto infinito

O núcleo é o conjunto de vetores que levam a matriz a zero:

Reparem que eu chamei tanto os coeficientes da combinação linear lá de cima quanto as coordenadas do meu vetor pertencente ao núcleo da mesma forma. E foi de próposito!!

Conseguimos ver agora que eles representam a mesma coisa!!

Além disso sabemos que o núcleo é uma solução de sistema linear, que pode ser única ou infinita. Acontece que a solução trivial (vetor nulo) é sempre solução, então quando é única, o núcleo é formado só por ele!

No enunciado, entretanto, vimos que a nossa tem solução não trivial, ou seja, diferente do vetor nulo! Assim, sabemos que vai ter infinitas soluções e nossa afirmativa é verdadeira!

II - Uma das colunas de é gerada pelas demais

Bom, já sabemos que nossas colunas formam um conjunto e ser significa exatamente ter um vetor dos demais no conjunto. Ou seja, gerado pelos demais!!

Logoooo, essa é verdadeira também.