A cada ano, 400     alunos ingressam em um determinado curso universitário; sabe-se, com base em dados coletados ao longo dos anos, que metade dos ingressantes conclui o curso. A probabilidade de que pelo menos 215   dos 400   alunos que ingressam anualmente terminem o curso é:

Passo 1

Fala pessoal. Tudo belezinha? Vamos para mais uma questão de probabilidade, uma que utiliza o T C L   .

Nós queremos calcular a probabilidade de pelo menos 215     dos 400     passarem.

Então, se S n representa o número de alunos que passaram, queremos calcular P S n   ≥   215 .

Além disso, nos é informado que em média, apenas 200     alunos são aprovados todo ano. Ou seja, E S n = 200  

Vamos relembrar o T C L     (Teorema central do limite, ou Teorema do limite Central ). O T C L       nos diz que se X 1 , … , X n forem i i d   então:

S n - E S n V S n 1 2   ⟶     N 0,1   quando   n   ⟶   ∞

Onde S n   =   ∑ i = 1 n X i

Essa é uma convergência em distribuição.

Passo 2

Para podermos usar o T C L   presisamos da V S n . Mas como vamos obte-la? O enunciado não fala nada da distribuição de S n . Bem podemos inferir essa ditribuição. Faria sentido supor que cada aluno passa com probabilidade p   . Sendo assim, S n   ∼   b i n 400 , p (soma de bernoulli é binomial).

Mas que é p ?   .

É um resultado conhecido que a esperança da b i n n , p é dada por n p   . Então

E S n   =   400 ⋅ p

(Como o enunciado nos informa que E S n   =   200 )

⇒   p = 1 2

Como a variância da b i n n , p é dada por n p 1 - p   tem-se que:

V S n   =   400 ⋅ 1 2 ⋅ 1 2

V S n   =   100

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Agora que temos a variância de S n podemos calcular a P S n   ≥ 215

P S n   ≥ 215   =   P S n - 200   ≥ 215 - 200  

=   P S n - 200 10   ≥ 215 - 200 10  

(nós subtraímos a média e dividimos pelo desvio padrão)

=   P Z   ≥ 215 - 200 10  

(Onde Z ∼ N 0,1   pelo T C L   )

=   P Z   ≥ 15 10  

Consultando a tabela z obtemos que P Z   ≥ 15 10   =   0.0668

Dessa forma, P S n   ≥ 215   =   0.0668

Resposta

0.0668  

Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

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