Uma companhia de seguros emitiu apólices para 10000 pessoas, todas da mesma faixa etária. A probabilidade de morte durante um ano é de 0,006 para cada pessoa nessa faixa etária. Em um dia pré-fixado, todos os segurados depositam 12 u.m. e, se algum deles morrer dentro de 1 ano, seus beneficiários receberão 1000 u.m. da seguradora. Qual a probabilidade de que em 1 ano:
(a) A companhia tenha prejuízo?
Passo 1
Vamos representar o lucro da seguradora no ano por pessoa por , e essa v.a. pode assumir dois valores:
E nós sabemos que a probabilidade de uma pessoa morrer é , então:
E de não morrer, vai ser a complementar de , ou seja, :
Lembrando da fórmula da esperança, podemos calcular :
E pela fórmula da variância, calculamos :
O lucro total vai ser dado pela soma dos lucros vindos de todas as pessoas:
Podemos aproximar a uma distribuição normal então, certo? Pelo Teorema Central do Limite! Já que são muuuitas v.a.’s com mesma distribuição e independentes somadas. Então:
Lembrando que e que já calculamos :
Passo 2
Agora podemos calcular o que foi pedido. A probabilidade da companhia ter prejuízo é a probabilidade do lucro total ser menor que zero:
Padronizando isso aí, já que segue uma Normal:
Invertendo o sinal para tirar o negativo:
Usando a probabilidade complementar para deixar o sinal como (no mesmo sentido que vamos procurar na tabela):
Cara, mas não tem esse valor na minha tabela, e agora??? Repara comigo que quando os valores vão crescendo, a gente se aproxima cada vez mais de uma probabilidade igual a , então vamos dizer que:
Entonnn...
Ou seja, a probabilidade da companhia ter prejuízo é praticamente zero!
Parece que esse negócio de ser companhia de seguros é vantajoso mesmo, hein...
