USP probabilidade e estatística probabilidades P3 2018
Seja uma variável aleatória discreta distribuida conforme a distribuição de Poisson. Seja a variável aleatória binomial usada na "aproximação da Poisson pela Binomial". Nesse contexto, considere as seguintes afirmações.
a) .
b)
c) .
Quais alternativas são corretas?
Passo 1
Fala pessoal, vamos para mais uma questão de probabilidade. Dessa vez uma questão teórica.
Bem Nessa questão estaremos trabalhando com a "aproximação da Poisson pela Binomial", vocês lembram como é essa aproximação? Não? E nem precisamos, só precisamos saber que essa aproximação se dá em forma de distribuição. Isto é, a função de probabilidade de converge para a de
Queremos verificar quais das alternativas estão corretas.
Passo 2
Vamos começar verificando a letra b). Essa definição é familiar, não acham?
Vamos olhar ela de novo
Mas é claro que é familiar. Essa é a definição de convergência em probabilidade!!!
Mas como comentado no passo anterior, sabemos que converge em distribuição. Como convergência em distribuição não implica convergência em probabilidade, temos que essa afirmação é falsa.
Passo 3
Agora vamos verificar a letra c). O que ela diz?
Será que isso é verdade? Vamos analisar. Por definição temos que
Aplicando o limite temos
Pela linearidade do limite
Como converge em distribuição para então, pela definição de convergência em distribuição, que converge para . Logo
Então temos que letra c) está certa
Passo 4
Por fim, precisamos verificar a letra a) que diz que .
Ora, mas já vimos que a letra b) é falsa, ou seja, que quando a probabilidade de é positiva, então existe um conjunto de valores com probabilidade positiva onde
.
Logo essa afirmação é falsa
E com isso terminamos mais uma questão de probabilidade.
Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!1
Resposta
c)